Полученный ряд сходится быстро при малом т. Если время т ве лико, то для расчета этой вероятности удобнее использовать фор
мулу, полученную при решении примера 35.3. |
0 получается |
г) |
Так как ц = |
со, то Bx(z)=0. При а = 0 и Я = |
A] {z) ~ A2{z). Следовательно, Ax(z) — A2( z ) ~ —Cx(z)-, |
B2(z) = |
— C2(z) — C,(z). Функция Грина при этом |
|
|
Г (у, Z) =• |
[e--Trs'|y-z| .ф^-цУЩу+г)^ |
|
|
|
2у s |
|
т. е. отличается только одним знаком от соответствующей функции из б). Так как <р(г/, я) — Г(у, х), то условная плотность распреде ления
|
|
|
/(О, |
|
|
|
|
2у кт |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При любом х ^ |
0 вероятность существования этого |
процесса равна |
единице. |
|
|
|
0, Л = |
0 |
и ц = |
/, |
то |
Ах(z) — A2{z) ; |
|
Bx(z)^= |
|
д) |
|
Если -а = р = |
|
B2(z)e~2iiyfs |
. |
|
Так |
как Bx(z)— B2(z ) ~ Cx(z) — C2(z), |
to |
|
|
В (z) — |
^ |
|
|
^ |
^ |
g - 2yys . |
|
g |
(z\ _ |
^ 2 |
(z) |
с, |
|
(z) |
_ |
|
|
|
|
1 _ |
е- 2ЦСГ e |
|
’ |
|
|
|
|
l _ e-21lVi |
’ |
|
Ai (z) = A2 (z) = |
Bx(z) - |
Ci (z) |
C2(z)e~2ilVs - C |
x{z) |
|
|
|
|
|
|
1 — g -2y Cs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись формулой (36.21), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (У, |
Z) |
|
|
|
(1 _ g - 2 Tz y Sj - l |
[ e - t V s ( - y - z + 2 1) _|_ |
|
|
|
|
|
|
|
2 V s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-j- |
|
|
(—ly—Z|+2i) _j_e |
- - [ Y S jy—z| |
g —l Y |
S (У+ Z)j _ |
|
|
|
|
Данное выражение отличается от функции Грина из в) |
|
только |
двумя знаками. |
Искомая условная плотность распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ~ |
d y - x |+ 2 Z k ) a |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
« ° |
' х; |
, ' |
5') = 5 |
^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
У^кт |
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
е |
- |
-£■ (У + х + 2 /к )а |
|
- J l [ _ | y - x | + 2 ( k + l ) Z p |
|
_ |
Г |
t |
х+2 (k + j )(]2 |
1 |
|
|
|
4 |
|
-4-р |
|
4т |
|
|
|
|
_!_р |
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
- 4 - (У-Х+2ЫР |
|
- J - (у+х+2к/)а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:2/ ^ к^2 g |
4т |
|
|
|
-j- g |
4т |
|
|
|
|
|
|
Другое выражение для этой функции получено при решении при мера 35.2.
§ 37. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотренные выше методы интегрирования уравнений Колмо горова позволяют относительно просто находить плотности распре деления и другие характеристики марковского случайного процесса только в частных случаях. Часто точные методы интегрирования непригодны вследствие того, что практически невозможно получить решение той или иной частной задачи. При использовании метода Фурье обычно очень сложно найти собственные числа и собствен ные функции обыкновенного дифференциального уравнения (35.6). Решение такой задачи известно для относительно небольшого числа уравнений. Использование преобразования Лапласа связано с оп ределением функции Грина, для чего необходимо знать оба реше ния дифференциального уравнения (36.5), и с нахождением ориги нала по известному изображению. Обе указанные задачи в боль шинстве случаев решаются весьма сложно, что и ограничивает практическое применение данного метода.
В некоторых приближенных методах решения уравнений Кол могорова используется возможность сведения дифференциального уравнения в частных производных с заданными граничными усло виями к эквивалентному интегро-дифференциалыгому уравнению относительно той же искомой функции. Рассмотрим, как осуществ ляется такой переход на примере второго уравнения Колмогорова для плотности распределения непоглощенной части процесса w {y, г), которое запишем в виде
® (т , т) + |
dS-^ y — = О, |
|
(37.1) |
где |
dw(y, |
т) |
|
|
|
w(y, |
|
|
(37.2) |
|
|
|
|
a S (у, т) — ноток вероятности, т. е. |
|
|
|
|
S (у, %) = а (т, у) w (у, |
1 |
д |
\ь (т, |
у) w (у, Т)]. |
(37.3) |
т) - — |
|
Пусть равенства у — к(х) и у = у ( х ) , где Я(т) и р(т) — ограни ченные функции времени т, причем Я (т) < р (т), являются уравне ниями границ поглощения на плоскости Оху. Тогда граничные усло вия для функции w(y, т) при любом х > t записываются в виде:
w[k(x), т] = 0; афр(т), т] = 0. |
(37.4) |
В частности, когда Я(т) и р(т) не зависят от т, поглощающими границами являются прямые линии у = Я и у = р. Если функция
Я(т) ограничена, а р = с о , то имеется только одна поглощающая граница. Так как поток вероятности на бесконечности равен нулю, то в этом случае граничные условия следующие:
w[X(x), т] = 0; 5 (со, т) = 0. |
(37.5) |
Аналогично получаем, что при Х= — со и ограниченной функ ции р(т) при любом т > t граничные условия имеют вид:
S(— со, т) = 0; ш[|х(т), т] = 0. |
(37.6) |
При X — — оои р — со поглощающих границ нет, а потому функ ция w(y, т) совпадает с плотностью распределения f(y, т) марков ского случайного процесса, который может принимать любые ве щественные значения. В этом случае при любом т имеет место ра венство
а граничные условия записываются в виде:
S { — оэ, т) = 0; S ( оо, т )= 0 . |
(37.8) |
Чтобы получить интегро-дифференциальное уравнение относи тельно функции w(y, т), проинтегрируем равенства (37.1) п- (37.3) сначала при граничных условиях (37.4). Из ' (37.1) в результате интегрирования по у от л(т) до текущего значения у находим
5 (у, т) = С (т) — Г w (z, х) dz, |
(37.9) |
Х(т)
где С(т) — произвольная функция времени т. Рассматривая в (37.3) время 1 как параметр, из однородного дифференциального урав нения
|
а(т, y)w(y, |
х) — 1 A [ 6 ( Tj y)w(y, |
т)] = 0 . |
(37.10) |
после разделения переменных и интегрирования получаем |
|
|
|
у |
|
|
|
Ь(х, у) w (у, т) = Cjexp |
fl(t, z) |
|
|
ЪК z) dz . |
(37.11) |
|
|
|
|
|
|
Х(т) |
|
|
Считая С1 функцией у, после подстановки |
(37.11) в |
(37.3) при |
ходим к равенству |
|
|
|
|
dCi |
— 2 S(y, |
т) exp |
(Ч z) |
|
(37.12) |
dy |
b{x, z) |
|
|
|
|
|
Подставляя результат интегрирования этого выражения в (37.10), получаем решение дифференциального уравнения (37.3) при из вестной функции S (у, т) в виде
|
w{y, |
т) |
г й Ь т ехр |
Г а(т, |
z) |
dz |
D W - |
|
|
|
|
|
. |
bfr |
z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х (т) |
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
у |
|
|
|
ГЙ(Т’ Z) |
dz |
|
(37.13) |
|
|
I |
S (v, |
т) ехр |
9 |
|
|
|
М-) |
|
|
|
J |
МЧ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х(т) |
|
|
|
|
|
где |
D (т) — произвольная функция |
времени |
т. Чтобы найти эту |
функцию, воспользуемся граничным условием |
(37.4) при г/ = А(т). |
Полагая в |
(37.13) |
у = Л ( т), получаем D(%)щ 0, а потому справед |
ливо равенство |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(y, |
т)== |
|
|
|
|
|
т> v ) d v > |
(37.14) |
где |
|
|
|
|
ЛИ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (У, “с, |
= ехр |
2 |
’ а (т' |
2) dz |
|
(37.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч ч |
Z) |
|
|
|
Подставляя |
поток |
вероятности |
S(y, |
т) |
из |
(37.9) |
в (37.14), |
полу |
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да(у, |
т) = |
— 2 |
Q(y, т, ц)[С(т) — J |
да(г, |
T)dz]dT». |
(37.16) |
|
|
Ь(Ъ У)
ЧЧ
Для определения неизвестной функции С(т) воспользуемся гра ничным условием (37.4) при г /= ц (т ). Из (37.16) при этом на ходим
|
МЧ |
-i е(Ч |
Г |
v . |
С(т) = |
j Q(y, ®) dv |
f Q(y, т, ц) |
|
(’ да (г, т) dz dv. |
|
1 |
Мт) |
. |
чу |
|
ЧЧ |
|
|
|
|
(37.17) |
Исключая из (37.16) функцию С(т) с помощью (37.17), приходим
кследующему интегро-дифференциальному уравнению относи
тельно искомой функции да {у, т):
У V
*>{у, ' ) = щ ^ у ) J |
Q (y’ х*v) { J® '* 2’x)dz~ |
ЧУ |
ЧУ |
