fi(-t) |
V)dy\ |
-1МЧ |
U . |
x),dz |
1 |
j Q (y, |
j Q(y, x,a)' |
J w(z, |
du\dv. |
J |
|
|
|
|
' |
L (т\ |
|
1 fT^ |
X(t) |
_ |
|
|
|
|
|
(37.18) |
Если граничные условия записываются в виде (37.5), то из (37.1) в результате интегрирования по у от текущего значения у до оэ вместо (37.9) находим
S(j/, х ) ~ j w(z, x)dz. |
(37.19) |
■у |
|
Подставляя это выражение в (37.14), получаем интегро-дифферен- циальное уравнение для w(y, т) в виде
|
у |
|
|
- |
oo |
|
“ |
|
|
j |
Q(y' |
|
v) |
w(z, x) dz |
dv. |
(37.20) |
|
|
I |
|
|
|
|
Цт) |
|
|
|
|
|
|
|
Когда X= — со, |
равенство (37.9) |
принимает вид |
|
|
|
S(y, t) == — j |
w {z, t) dz, |
|
|
(37.21) |
t . e. при этом С(т) = 0. Если граничные условия |
записываются |
в виде (37.6), то из (37.13) |
при у = |
|
р(т) находим |
|
|
|
ИИ |
|
|
|
g(*, |
*) dz |
|
|
D(x) = 2 |
S (v, х) exp |
— |
2 |
dv. |
(37.22) |
|
|
|
|
|
b(x, |
z) |
|
|
Тогда согласно (37.13) |
|
|
|
|
|
|
|
w(y, x) = |
2 |
1"'(Т> |
|
|
|
®) dv. |
|
(37.23) |
yjf - уу j 5 (®. T) Q (У, |
|
у
Подставляя в. правую часть последнего равенства поток вероятности S(y, т) из (37.21), приходим к следующему интегро-дифференци- альному уравнению:
|
|
|
- 2 |
P-W |
|
1 |
W (у, х) = |
ГQ(y, ч'у) |
|
Ь(ч, У) |
|
|
|
|
У
Ёсли к = — со,а |
fi — °°, то граничные условия записываются |
в виде (37.8). При |
этом справедливо равенство (37.21), а потому |
в соответствии с (37.13) приходим к следующему интегро-диффе- ренциальному уравнению:
, \ |
8(1) |
J Ь(х, 2 ) |
|
Ш<У■'1 = Т м ' ,р |
|
|
L |
Уо |
|
Т К У ) |
J <г<^. ^ ■D» ! |
“ < *• '> * dv. |
(37.25) |
где уо — любое фиксированное значение ординаты у. Чтобы найти входящую в. (37.25) функцию 0(т), нужно воспользоваться равен ством (37.7). В результате интегрирования (37.25) по всем возмож ным значениям у получаем
6(t) J |
exp |
0 |
f |
a (x>z) |
H-r |
dy |
y) + |
--CO |
|
“ |
J |
b (t, z) |
"" |
b{t, |
|
- |
Уо |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
j Q(y, |
t, v) |
|
| w {z, x) dz |
dv] |
1. (37.26) |
oo |
|
■--oo |
|
|
J Ь(т, |
|
|
|
|
|
При известной плотности распределения w(y, т) |
функция б(т) од |
нозначно определяется из (37.26). С помощью этого равенства функцию 0(т) можно исключить из (37.25). Можно также 6(т) рассматривать как неизвестную функцию и решать уравнения (37.25) и (37.26) совместно относительно w(y, т) и 0(т).
Пример 37.1. Записать интегро-дифференциальные уравнения для плотности распределения непоглощенной части процесса w(y, т) при различных граничных условиях, если коэффициент
сноса а(т, у ) = |
— ар2у, |
а коэффициент диффузии |
Ь(т, |
f/)= p 2, где |
а и р — заданные положительные постоянные. |
(37.15), |
находим |
Р еш ен и е. |
Воспользовавшись равенством |
Q(y, т, и) = g«(v*-ys). |
При граничных условиях |
(37.4) |
в |
соответ |
ствии с (37.18) получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение:
уV
|
w (.v, == ~ |
е~аУ' J |
е*4' j* w (z, т) dz — |
|
|
|
Х(т) |
Х(т) |
|
1 |
ж) |
f |
w (z, т) dz du\ dv, |
|
|
|
g № >(■) |
|
X(x) |
|
где
им
g (x )= f e ^ d -ц.
X(t)
Если граничные условия записываются в виде (37.5), то согласно
(37.20)
w(y, х)== |
w (z, т) dz dv. |
При граничных условиях (37.6) из (37.24) получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение:
| i( x ) |
Г V |
|
w {у, х) = ■ - - |
w(z, |
х) dz dv. |
Когда граничные условия совпадают с (37.8), |
при Уо— 0 из (37.25) |
получаем |
|
|
«>(У, x) = -L0(x)e-«y5+ |
У |
|
Г |
w (z, х) cfe |
Так как
то равенство (37.26) записывается в виде
|
00 |
У |
|
_1_ |
w (z, х) dz dv\ dy — 1. |
|
Р2 |
|
|
|
— оо |
|
Точное решение последнего интегро-дифференциального уравнения найдено в § 34, так что
|
®(У, т)== |
■)/"а |
|
|
[1 — е |
■*)] |
|
|
|
|
|
|
При этом 0(т) = 0 . |
|
|
а[у—хе “Э3 (х—t)]я l _ e-2aP>(T-t)
S 38 п р и б л и ж е н н ы е м е т о д ы о п р е д е л е н и я
|
|
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |
|
Плотность распределения w(y, |
т) |
непоглощенной части марков |
ского |
случайного процесса является |
решением уравнения |
(37.1), |
Т1 е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®(У, |
+ |
^ |
[а(х, y ) w ( y , |
*)] - |
|
[&(т- У)®(3\ Т)1 = ° |
(38.i) |
при начальном условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(y, |
*) b=t = |
f ( x , t), |
|
(38.2) |
где f(x, |
г1) — плотность распределения ординаты случайного про |
цесса |
в |
начальный момент |
времени x = t. При f(x, t ) = б(у — х) |
функция |
w(y, х) совпадает |
с условной плотностью |
распределения |
w (t, |
х; т, у) |
непоглощенной |
части процесса, когда |
его начальная |
ордината |
равна х. Если |
у — 1(х) |
и у — ц (т) — уравнения |
границ |
поглощения, |
где А (т )< р (т ), |
то при ограниченных функциях Я(т) |
и р (т) граничные условия для w (у, т) при любом |
т > t |
записы |
ваются в виде (37.4), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а>[А(т), т]==0; |
w[\i{%), т] = 0. |
|
(38.3) |
Когда % = — со или р = |
оо, |
граничные условия имеют вид (37.5) |
или (37.6) соответственно, но в некоторых случаях |
также |
записы |
ваются в виде (38.3).
Рассмотрим некоторые методы, применяемые для отыскания приближенного решения уравнения (38.1) при указанных началь ном и граничных условиях.
,Метод коллокации
При численном решении граничных задач для дифференциаль ных уравнений методом аппроксимирующих функций искомое ре шение ищется в виде функции, точно удовлетворяющей исходному дифференциальному уравнению и содержащей п неизвестных пара метров. Для определения этих параметров используется метод кол локации (размещения, расположения), суть которого состоит в под боре неизвестных параметров аппроксимирующей функции так, чтобы точно выполнялись граничные условия в п заданных точках. Подобный метод с некоторыми изменениями иногда может быть применен для нахождения приближенного решения w(y, т )--
— w(t, х; г, у) уравнения (38.1) при начальном условии
|
W (у, r)|T=t = в (у — х) |
(38.4) |
и граничных |
условиях (38.3), |
когда при любом т > / |
ограничена |
хотя бы одна |
из функций А, (г) |
и р(т). |
........ |
Предположим, что известно решение |
f(t, X; х, у) |
уравнения |
(38.1) |
при неограниченной области изменения марковского случай |
ного процесса, когда начальное условие |
|
|
|
|
|
/(*, * ; % |
y)|x-t = 8(у — |
|
|
|
(38.5) |
а граничные условия нулевые на бесконечности, т е. |
|
|
|
|
f(t,x \ x , — о о )= 0 , |
f(t, х; х, оо) = 0. |
|
|
(38.6) |
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
Чу, *) = /(*. *; и у) |
Ху, х,у)~ |
|
|
|
- C 2f(t, ХГ, х, у), |
|
|
|
(38.7) |
где 1(т) < у < ц ( т ) при любом т)>/, а начальная ордината |
X(t)< |
< x < |
ix(t). При ограниченных |
Х(х) и ц(т) функция |
0(1/, т) со |
держит четыре параметра: |
Сь С2, Х\ и х2, |
причем хг и х2 таковы, |
что Х| |
<C(k(t), a x2>n(t). Если |
р = со, т. |
е. имеется |
только одна |
поглощающая граница у — Х(х), |
то принимаем С2 = |
0. |
Аналогично |
при X — — со и ограниченной функции ц(т) коэффициент |
Ci = 0. |
В обоих указанных частных случаях функция в (у, |
х) содержит |
два параметра: С\, Х\ или С2, х2. |
|
|
|
|
|
Каждая функция из правой части (38.7) является решением |
уравнения (38.1). Следовательно, функция |
0(г/, т) |
также является |
решением этого уравнения. |
Полагая в (38.7) x = t, |
получаем |
|
О(у, x)|T=t= 8 (у — х) |
— CjS (у — л;,) — С23 (у — х 2). |
(38.8) |
Так как значения Х\ и х2 лежат вне области определения начальной
ординаты, то 8(у —Xi) = 0 и 6(у — х2)==0, |
а потому |
e (y ,t )| « t = 8 (y - jc )s |
(38.9) |
т. е. функция '0(1/, т) удовлетворяет такому же начальному усло вию, что и w(y, т). Заменяя в (38.7) у на Л(т) и на ц(т), находим:
6 |Х (т), x\ = f \t, X) |
х, |
Цх)\ — CJ [t, Xt; х, X(т)] — |
- C |
2f |
[t, х 2; х, Х(т)]; |
6 [у (т), т] = / [t, х; |
х, |
[1 (т)] — |
CJ \t, Xi; т, у (т) ] — |
~ C2f [t, х 2; х, |
р ( х ) ] . |
Предположим, что для некоторых значений параметров Сь С2,
Xi и х2 при любом х > t справедливы равенства: |
|
0[А(т), тг]= 0; 0[р (т), т] = 0. |
(38.11) |
Это означает, что для функции 0 (у, т) выполняются граничные условия (38.3). Так как, кроме того, эта функция удовлетворяет ис ходному уравнению (38.1) и выполняется начальное условие (38.9), то д(у, х) совпадает с искомой плотностью распределения w (y, т).
