Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Обеспечить точное выполнение граничных условий (38.11) за счет выбора постоянных параметров Си С2, Х\ и х2 удается только в частных случаях. Как правило, поглощающие границы для функ­

точно близкими, причем всегда их можно сделать пересекающимися по крайней мере в двух точках. В этих точках выполняются гра­ ничные условия (38.3) для функции w(y, т). Согласно методу коллокации искомую плотность распределения w(y, т) можно аппрок­ симировать функцией, которая удовлетворяет граничным условиям (38.3) не всюду, а только в отдельных точках. В качество такой аппроксимирующей функции иногда можно взять 0(г/, т), т. е. при­ нять

Чтобы проверить возможность указанной приближенной за­ мены, нужно сравнить заданные поглощающие границы у = Х(т) и 1 /- ц (т ) с аналогичными границами для функции 0(г/, г). При фиксированных значениях параметров Си С2, х{ и х2 уравнение поглощающей границы для в (у, т) записывается в виде 0(1/, т) = 0, т. е.

■0(г/, т) в виде г/ = ф(т; Сi, хл). Параметрами С; и Х\ можно распо­ рядиться так, чтобы кривая г/ = ф с границей поглощения У ~ Х(х) пересекалась в точках с заданными абсциссами x = t' и т — 1". Значения f и t" выбираются из условия наилучшего приближения кривых. В простейшем случае можно принять t' = t, t" = tu где / и t\— начальный и конечный моменты в рассматриваемом интер вале. Аналогично выбираются параметры С2 и х2, когда ограничена

С2, Xj и х2 находятся из условий пересечения кривой У = ^h с ниж­ ней поглощающей границей у = Х(х) и кривой г/ = фг — с верхней поглощающей границей у = р(т) при x — t' и при x — t"\ значения t' и t" выбираются из условия наилучшего приближения кривых.

Если между заданными поглощающими границами и аналогии ными границами для функции 0 (у, т) получаются большие расхож­ дения, то интервал от t до т следует разбить на части. Условная плотность распределения w(t, х; th у) ординаты процесса в мо­ мент 11, конечный для первой части, находится изложенным выше способом. Если f\(x; t) — плотность распределения начальной орди­

296

наты, то плотность распределения W\(yi\ t{) ординаты непоглощен­ ного процесса в момент t\ находится по формуле

X (t)

причем эта ордината может принимать любые значения от X{t\) до p(/i). Дальнейший расчет ведется, как для первого участка, когда начальный момент равен t\, а начальная ордината процесса У\.

Пример 38.1. Определить приближенные выражения для услов­ ной плотности распределения w{t, х\ т, у) непоглощенной части случайного процесса и для условной вероятности P(t, X; т) суще­ ствования процесса в момент т, если коэффициент сноса а (г, х) = = — ар2г/, а коэффициент диффузии Ь(т, у ) = (52, где а и р — за­ данные положительные постоянные. Граничные условия записы­

Мт ) = - и М ,

Реш ен и е . При заданных коэффициентах сноса и диффузии

решением уравнения (38.1) с начальным условием (38.5) и гра­ ничными условиями (38.6) является функция

С помощью этого равенства получаем уравнение поглощающей гра­ ницы для функции '0(у, т) в виде

297

ная граница совпадает с исходной поглощающей границей, а по­ тому искомая плотность распределения точно совпадает с функ­ цией В (у, т), т. е.

w{t, х; х, y) = f(t, х; т, y) — f(t, — X; х, у).

В общем случае, полагая t ' = t и t " = t u где ^ — конечное зна­

298

Если данная граница близка к у — р (т), то искомая плотность рас­ пределения непоглощенной части процесса

Решение этих уравнений записывается в виде:

Так как Л(т) = — р(т), то уравнения поглощающих границ для функции Q(y, т) можно записать в виде p = pi(t) и у = — pi(x).

299