Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Перемножив эти равенства, после сокращения общих множителей приходим к следующему неявному выражению для функции у =

= щ (т):

Начальная ордината процесса лежит между границами погло­ щения, т. е. J лг |< ц(^). Неизвестные параметры Х\ и х2 удовлетво­ ряют условиям: х, < — ц(^); х2> ц(^). Эти неравенства будут вы­ полнены, если принять х 1~ —х — 2ц (t) и х2 = — х + 2ц(<). Убе­ димся, что при таком выборе параметров Х\ и х2 кривая г /= ц ,(т ) пересекается с границей поглощения У — Ц(т) при x — t, т. е. что

pi(0 = p(0-

Имеем

x2+Xi = — 2х-, х2 — xi = 4 p (0 ;

х\— х\ = — 8*|х it); х\ + х\ — 2х2 — 8 [и. (£)]2.

Сучетом этих равенств уравнение поглощающей границы 1для функции 0(г/, т) записывается в виде

300

Так как ц (/)> 0 и |х|< р(^), то все показатели у экспонент, че­ рез которые выражается функция Q (т), отрицательные. Если т -> t, то z = е~ (T-t) 1. Следовательно, П тй (т) = 0. Из равенства

8а2ц(^)[г/ — zp,(/)] = (l — « 2){1п[1 + Q ( t ) ] — ln C ^ }

при переходе к пределу,, когда т t, получаем y = y ( t ) , т. е. дей­ ствительно справедливо равенство pi(^ )= р,(^).

Зная параметры Сь С2, Х\ и х2, с помощью полученного выше уравнения можно построить график у = p-i (т) верхней поглощаю­ щей границы для функции 0(г/, т). Если этот график близок к верх­

Метод Канторовича

Для отыскания приближенного решения уравнения (38.1) с гра­ ничными условиями (38.3) при любых заданных функциях Л, (х) и р(-т) иногда эффективным является метод Канторовича. Данный метод основан на возможности перехода от дифференциального уравнения в частных производных (38.1 )с заданными граничными условиями к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого искомое решение w(y, т) представляется в виде

Ш

w(y, x ) ^ w m(y, T ) = 2 m j (t)Xj(y,T)l (38.15) j=l

301

Функции Xj (У> т) подбираются так, чтобы каждая из них удов­ летворяла заданным граничным условиям, т. е. при т > t должно быть:

( /= 1 , 2, ... , от). -

Число т слагаемых в (38.15) выбирается из условия наилучшего приближения функции wm(г/, т) к w (у, т). Требование минимума невязки между указанными функциями в рассматриваемом методе эквивалентно выполнению следующих т равенств:

t*W

кследующим равенствам:

шix(-r)

302

Ф)

5 Sj ( ') = J Xs (У, t) Jxj (У, *0 + g p [Л (x, y) xi (y, t)] —

M-)

дифференциальных уравнений первого порядка относительно функ­ ций <«j (т) ( /= 1 , 2, ..., т). Начальными условиями для этой си­ стемы являются значения a>j (/) (/ = 1, 2, ..., т) искомых функ­ ций в начальный момент времени т — t. Для определения этих зна­ чений воспользуемся начальным условием (38.2), которое с учетом (38.15) записывается в виде

m

Умножим обе части (38.24) на Xs (х, t) и проинтегрируем резуль­

Определив решение системы дифференциальных уравнений (38.20) при найденных начальных условиях, приближенное выра­ жение для искомой плотности распределения непоглощенной части процесса получаем в виде (38.15).

303

Пример 38.2. Составить систему дифференциальных уравнений относительной функций wj(t) (/ = 1, 2, .. ., т) и определить на­ чальные условия, если область определения [А,(-т), ц(т) ] случай­ ного процесса ограничена; коэффициент сноса а(х, у) ——ар2г/, ко­ эффициент диффузии Ь(х, у) — Р2, где а и |3— положительные по­ стоянные. Получить приближенные выражения для условной плот­ ности распределения w(t, х; х, у) непоглощенной части процесса и для условной вероятности P\t, х; т) существования процесса, когда поглощающие границы неизменные, причем А = — ц, а на­

ных функций Xj{У, г) ( /= 1 , 2, ..., т) удовлетворяет заданным граничным условиям. Убедимся, что эти функции ортогональные. Имеем

304