Из этого выражения следует, что
О при s Ф г\
A 2s-1, 2г— 1 (т ) = |
1 - [jx (т) - X (т)] при |
s = r . |
|
Аналогично получаем |
|
О при s Ф k; |
|
A2s, 2к (т) = |
s — k. |
— X (г)] при |
Имеем |
|
2
A 2s - i , 2k ('с) = — [(* (■=) — Х ( т ) ] J cos(2s— l)«sin2/fe« du.
Так как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю, то A2s- i , 2k (т) = 0. Таким же образом доказывается равенство A 2 s, 2r - i (т) = 0. Следовательно,
О |
при |
S ^ j ! |
1_ [р(т) — Х(т)] |
при S — / |
(s ,/ = 1 , 2, ... , т).
С учетом этих равенств систему дифференциальных уравнений (38.20) можно записать в виде
— [у. (-С) — Х(т)] |
(1)а (X) + 2 А . 2 Г - 1 |
(Т) 0>2Г-1 (^) + |
|
Г-1 |
|
тп2 |
|
+ 2 |
f i s,2k (Х) ш2к W = |
0 |
к=1 |
|
(s=l, 2, ..., т).
Согласно |
(38.26) |
начальные значения искомых функций ®’s(x) |
(s = 1, 2, |
..., т) |
следующие: |
|
°2r—1 ( 0 |
: |
2 cos [(2г — 1) и (х , £)1 |
|
y ( t ) - W ) |
|
|
|
|
CD |
|
_ 2 sin [2ku (x , £)] |
|
|
(ft = |
|
|
|
p ( 0 - 4 * ) |
где
( r = |
1, 2........ |
/Mj); |
1,2 |
........m2), |
|
и (л, г?) = к - — 0,5 Iх (*) + »*(*)] y(t)~-k(t)
Поэтому
o , ( - l ) 2k+1^
/ \ 2 к , 2 к 2 k --------------^ ---------------------- ~ Т ’
а при s ф k
#2s,2k = 2k - |
( _ |
1 )s + k+ l ^ |
( — 1 ) 5~ к+ 1 |
(— l)s+k+1 ksn |
S |
+ k |
+ |
S — k |
s2 — k2 |
|
|
Для коэффициентов BSJполучаются следующие выражения: |
|
g2 |
|
|
Г |
/ |
|
|
|
|
|
■а + s‘ |
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
B2s,2t-1 — |
|
(х) — ^ СО] те2 ди |
|
|
;Х(т) + р(т) |
( _ l ) S+r+i4 s(2 r _ i ) |
_ |
|
I* (т) — X (т) |
4s2 — (2r — l)2 |
’ |
|
|
|
1 |
|
2 ди |
|
|
# 2 3 -1 ,2k = |
-g И ^ ) ~ |
X C0] |
те <?т |
|
Х (т )+ |
р(т:) ( - |
l ) k+s4 £ ( 2 s - 1) |
|
•ар2 |
|
|
4&2— (2s —I)2 |
|
К О — ЧО |
|
|
при s ф г |
|
( — l) r+3+1 (2r — 1) (2s — 1) # |
|
B 2 s - 1,2r—1 = а?2 [К О —*■ (О] |
|
|
4 (r |
— s) (/•-)- s — 1) ’ |
при s Ф k
( - l)s+k£s
B2s,2k= оф2 [К О — X (t)]
s2
Подставляя найденные коэффициенты, получаем следующую си стему дифференциальных уравнений:
|
|
2s- 0 0 + V |
a + |
( 2 s - I)2 |
u2s- -1 (О |
|
|
I |
1 |
02/0 |
( — l)f+S(2r--- 1) |
. . . |
|
|
+ |
у |
ар ( 2 s - i ) 2 |
(s _ |
r ) ( s _|_r Z T ) |
<° 2r- i (x) + |
|
|
|
|
Г+S |
|
|
|
|
И" |
2_da _ |
q2X (0 + K O |
^ |
(— l)k+s4£(2s — 1) |
. . . |
те |
дх |
а? К О “ |
MOk=l |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4&2 — (2s— l)2 |
|
( s = l , 2, .... mi);
2 du |
32 MT) + |
K x) V |
( — 1 )s+r+14s (2r — 1) |
- 1 |
(x) |
ic dx |
|
Jmd |
4s2 |
(2r - l)2 |
|
|
|
|
r = l |
|
|
|
|
■a -j- 4s2 du\2 |
“ 2s (x) + |
2ap32 |
0)3к (x) = |
0 |
dy
k=l
k+s
(s= 1, 2.......m 2 ) .
du
Если поглощающие границы неизменные, то ^ = 0. При до
полнительном условии %= — р. система из т дифференциальных уравнений распадается на две независимые системы из т\ и т2
уравнений соответственно. В этом случае |
и(х, |
7ZJC |
на- |
t)= — . Когда |
чальная ордината |
случайного |
процесса х = |
0, получается и(х, t)~ |
= 0, |
а |
потому o>2r—1 ( 0 |
= — |
( r = ^ |
1 , 2, |
/щ); |
о)2к(^ ) = 0 { k |
= |
— 1, |
2, |
т2). |
При |
г |
|
начальных условиях однородная |
нулевых |
система линейных дифференциальных уравнений имеет только три
виальное |
решение, т. е. а>2к(т)=с0 |
(д = |
1, 2, ..., т2). Отличные |
от нуля функции «>2s-i (г) (5— 1, 2, |
... , |
т.\) находятся как реше |
ние следующей системы дифференциальных уравнений: |
|
«>23—1 (х) — 4" Р* [®“ |
Т(2« — 1)*] ®2.-1 (х)+ |
+ |
,U1 ( - |
1)г+8 [2 г— 1) |
°2r—1 (х) — 0» |
^ « Р 2(2«- ■ 1 ) 2 |
|
|
|
|
£ ( s — r) ( s - t - r - 1 ) |
|
/ |
1C \ 2 |
|
|
|
1 |
где |
, при начальных условиях |
<n2s-i (t) = — (s = 1, 2, ... |
..., nil). Зная решение этой системы, приближенное выражение для условной плотности распределения непоглощенной части про цесса получаем в виде
w (f, 0; |
Т, у) ж 2 W2 s- 1 |
(т) cos [(2s — 1) VЛ У1. |
|
S — 1 |
|
|
Условная вероятность существования процесса |
<1 |
И- |
Ш1 |
_ |
P ( t , 0; t ) = |
f w ( < . 0; т, |
|
|
|
|
s=l |
Z |
