Если принять Ш\= 1, то вместо системы уравнений получается одно дифференциальное уравнение
®i (х) — Y Р2 (* - Т) “ 1(х) = О-
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш1 (х) = |
|
1 |
Р2 (а — Т) (х “ t) |
|
|
|
— ехр |
|
|
w(t, |
0-, т, у): |
|
I |
тсу |
ехр |
: (а _ |
Т) (Т _ |
t) |
|
|
COS I — ■ |
|
|
|
|
II |
\2ц |
|
|
|
|
|
|
P(t, 0; |
т ) ^ — ехр |
1 |
|
|
|
|
|
Р2(« — Т)(х ~ 01- |
|
|
Принимая гП\ — 2, |
приходим |
к следующей |
системе |
дифферен |
циальных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
®i (х) — у |
Р2 (« “ Т)®1(х) + |
йР2ц>з (х) = 0; |
|
|
|
“ в М — -?гР2(а — 9т)“>з(х) — | - а Р Ч ( х) = |
0, |
• |
причем а>1 (t) = шз(0 = |
~ |
• Характеристический |
определитель этой |
/ системы |
|
|
I* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v — у |
р2 (а — ~) |
■7.р |
= 0. |
|
|
|
|
|
1 |
- у Р 2( « - 9 т ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
V8 - |
^Р2 (« - 5-Г) + |
Р4 (<* - |
Т) (« - |
9-0 + |
^ <*2Р4 = |
О,, |
а характеристические числа |
|
|
|
|
|
|
^1,2 : |
4-Р2 |
— 5т ± |
16т2 |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
аз, (х) = |
Спе'> |
+ С12е'* |
; |
|
|
|
|
|
|
|
(в3 (х) = |
C21ev‘ |
4- C22ev* (T-t)» |
|
|
причем
Си + ^ 12 ~ — ; ^21 + с 22— — |
|
Р |
|
|
|
Р |
vj — 2 -Ра(® — т) |
C,j + |
-f-aP2Cy = |
0 |
(У — 1 > 2), |
так что |
1 |
, / 4 ? |
— 1,5а |
|
Сц — С22 — 2[J, |
V |
4т -f 1,5аJ ; |
|
|
С12 = С2Х= 7£ |
1 f |
1? ~ |
^ 5а |
1 V |
4т + |
1,.5а |
В этом случае |
|
|
|
|
|
те» (f, 0; -с, у) |
|
тгV |
|
|
Ятс V |
u>, (т) cos ^ + |
шз (т) cos — ; |
Р(t, 0; -с): > |
СО - |
| а |
) 3 (т) |
Метод ортогональных функций
Один из достаточно общих приближенных методов решения диф ференциального уравнения (38.1) с различными граничными усло виями при неизменных поглощающих границах, т. е. при постоян ных к и р, состоит в переходе от полученных в § 36 ннтегро-диф- ференциальных уравнений к системе обыкновенных дифференци альных уравнений. В общем случае эта система состоит из беско нечного числа связанных между собой линейных дифференциаль ных уравнений первого порядка. Чтобы найти приближенное выра жение для w(y, т), нужно учесть первые т уравнений этой си стемы, где число т выбирается в зависимости от точности вычис лений и содержания рассматриваемой задачи.
Используя возможность разложения произвольной функции в ряд по системе каких-либо ортогональных функций, представим искрмую плотность распределения w (у, х) в виде
|
|
®(У. т) = Р(У) 2 |
7кСх) Хк (У). |
|
(38.27) |
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
где |
Тк (0 (^ = 1 , |
2, |
. . . ) — неизвестные |
функции; |
v |
|
Хк(У) V1-- 1, |
2, |
...) |
— заданные функции. |
|
|
Система функций Хк (У) |
( k = 1, 2, ...) |
выбирается ортонормирован- |
ной с весом |р (у) в интервале от к до р, |
так что |
|
|
И |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 P (y)& (y)x .(y)dy = 8k. = |
H |
ПрИ |
k/ ~ S; |
(38.28) |
|
J |
|
|
|
I |
|
0 при |
k Ф s. |
|
В качестве функций ук (у) |
(k = |
1, 2, ...) |
обычно выбираются |
ортогональные полиномы. Если Х = — оо, а р = |
оо, |
то следует при |
нять, например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zk(y) = |
- 7S |
M |
= ; |
р(у) = |
е~Г, |
|
|
(38.29) |
где |
|
|
] / 2 |
кб ! / к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нк(У) = ( - 1 № |
£ ( е - П |
|
|
|
(38.30) |
— полином Эрмита. |
|
|
|
|
|
dyK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X или при X = |
— оо |
и ограничен |
При р = оо и ограниченном |
ном р с помощью линейной замены интервал |
(X, р) |
можно свести |
к интервалу (0, |
°о ), |
после чего принять |
|
|
|
|
|
Хк (У) |
|
|
|
{k + |
1) т - Ш у ) ; |
Р(У) = |
Уае—У |
(38.31) |
- |
V |
r |
i |
+ A+D |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( У ) = ^ г У - ^ у | ) Г(Ук+^ - у) |
|
|
(38.32) |
— полином Лагерра. |
|
|
|
ограничены, то линейной заменой пере |
Если постоянные Л и р |
|
менных интервал (X, |
р) можно свести к интервалу |
(— 1; |
1). Затем |
за Хк (У) при р (г/)= 1 |
можно взять, например, |
|
|
|
|
где |
|
|
Хк (у )-- V k -f- 0,5Рк(у); |
|
|
|
(38.33) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) к |
|
|
(38.34) |
|
Р А у) = ~ г г Ь ( У 2- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2к&! dy* |
|
|
|
|
|
— полином Лежандра. В интервале |
(— 1; |
1) |
ортогональными яв |
ляются также полиномы Чебышева, полиномы Якоби, многочлены Гегенбауэра, присоединенные функции Лежандра и др.
|
|
|
Умножим обе части (38.27) |
на Х%{У) и проинтегрируем резуль |
тат умножения по у от X до р. |
Учитывая ортонормпрованность вы- |
/ бранных функций ук(у) с весом р(у) в интервале |
(X, р), получаем |
,(t) = J W(y, ')xAy)dy |
(38.35) |
(« = 1, 2, ...).
Используя начальное условие (38.2), из (38.35) при т = t находим
Т. (*) = J f (у, *) х. (у) <*У |
(38.36) |
*
( * = 1, 2 , . . . ) .
В частности, если |
f(y, t) — ib(y— х), |
где х — ордината |
процесса |
в момент т = t, то |
|
|
|
Т.(*) = хЛ*) (s = |
l ,2 , . . . ) . |
(38.37) |
Ограничиваясь в |
(38.27) первыми т членами разложения, при |
ходим к приближенному выражению для искомой плотности рас пределения в виде
® (у, х) ss wm(у, Т) - р ( _ у ) 2 Тк(х) Хк(У)- |
(38.38) |
к—1 |
|
Чтобы получить систему дифференциальных уравнений относи
тельно |
функций ТкЫ |
(& =1, |
2, ..., т), |
воспользуемся |
интегро- |
дифференциальным |
уравнением |
для wm(у, |
т) ^ w (у, |
т ). |
Если по |
стоянные, Л, и р |
ограничены, |
то |
такое уравнение |
записывается |
в виде |
(37.18). Заменяя в этом уравнении |
функцию w(y, т) при |
ближенным выражением (38.38), приходим к равенству |
|
|
|
|
|
|
J |
|
I |
' |
|
|
>(у) 2 |
Ik (х) Хк ( У ) ; |
2 |
Tk(x)j* Q ( y > x> ®) |
J P(2 )Xk(2 )d z — |
к-1 |
|
-1 |
ъ(х- У) к-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и* |
|
|
|
|
|
|
du\ civ. |
(38.39) |
j Q (У, х, ч) di\ |
|
f Q (У, х, и) |
j* Р (2 ) Хк(г) dz |
|
Умножим обе части этого равенства на |
Xs (У) н проинтегрируем ре |
зультат умножения по у от X до р. Тогда с учетом |
|
(38.28) |
получим |
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ts (х) = 2 Тк (х) ^ks(х) |
|
|
|
(38.40) |
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
( s = l , |
2, |
..., |
m), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
I v |
|
|
|
|
^ |
|
|
Xs (У) |
|
|
v |
) |
P(z)7.k( z) dz — |
|
|
|
|
} < 3 ( У . Х, |
|
|
|
- i ij. |
|
|
|
|
|
|
|
rfttj rfnj dy |
j* Q Су» x>-ц) dn |
j Q (у, t, u) j |
p(z) Xk(2 ) dz |
|
|
|
|
(K s = l, |
2, |
. . . , m). |
|
|
|
|
(38.41) |
При |
ограниченном |
Я н р = |
оо |
также |
справедливы уравнения |
(38.40), |
но для коэффициентов |
cks (т) |
|
с помощью |
интегро-диффе- |
ренциального уравнения (37.20) получаются следующие выраже ния:
со |
f у |
Г 00 |
|
cM rfy (38.42) |
£ (х) = - 2 j |
К Q (У- х> |
j |
Р (z) Хк (2) |
|
(6, 5 = 1 , |
2, . . . , |
т). |
|
