Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

V-

v

Xs (У)

JQ (у ,', v)

J Р(г)Хк(г )^ 2

dv \dy

b К У)

•У

(k,s = 1, 2, .... m).

(38.43)

При Л = — °° и р = со из уравнений

(37.25) и (37.26)

получаем:

и по формуле (38.43),

если X — — оо,

а р

ограничена. При Х = — оо

и р = ° о неизвестные

функции

7s(t)

( s = l , 2, ...,

m) находятся

как решение системы уравнений

(38.44)

и (38.45)

с теми же на­

альных уравнений

(38.50). Коэффициенты этих уравнений рассчи­

тываются по формулам (38.46) — (38.49).

Пример 38.3. Воспользовавшись методом ортогональных функ­

ций,

определить плотность распределения f (у, т) при а(х,

У)

0 и

b(т,

у) — р2, где р — постоянная, если

в начальный момент x — t

ордината

процесса

я =

0;

граничные условия для f(y,

т)

записы­

ваются в виде

(37.8).

плотность

распределения

представим

Р еш ен и е .

Искомую

в виде (38.27),

т. е.

/ (У, *) = Р(У) 2 Тк.Ы Ул(у).

к=1

Так как X= — оо ,

а р = оо,

то примем:

р ( у ) = е - Р ;

/ к ( У ) =

НЛУ)

Y

2к k\ У ъ

где

(У) — полином

Эрмнта. Функции ys(x)

(s =

l,

2,

...)

яв­

ляются решением системы (38.44) п (38.45). Из (38.47)

следует,

что

в данном

случае

d{x) ~ оо, а

потому

равенство

(38.45)

воз­

можно только при

6(т) ЗЕ 0.

Тогда

Ш

Ts ('■)===2

Тк (”)^ks М

== К 2, . . . , fn),

к=1

m

2 Тк Ы 4

(г)

1.

Согласно

(38.37)

~ts(t) — xs (0)

(s =

l,

2,

... ,

т).

Так

как

tf,k_i(0) =

0;

/У2к(0) =

(— 1)к2к (2/г — 1)!!

(fe = l,

2,

...), то

на­

В данном случае Q (г/, т,

у) == 1, поэтому при k^> 2 имеем

,

-

2

( -

1)к

dk~l-

(e^ )d v

dy

®к - 7 '

I

I

|/"2к k\ /

тс

2

(~-1)к

Г

dk- 2 (<?-/ iy =

0.

1/Г2к й! / п J ^ к“ 2

—ос

Если 6 <

2, то аналогично находим:

d.,

2

1

е~у* dy

=

P V 2

2 1 / 2 / т с J_

'

- 2

1

00 /

У

=

" F

F

w

i

1

Ц

При c/j =

оо

равенство

T i^ i

+

Y2^2 — 1

возможно только в том слу­

чае,

если

Y i ( t ) = 0.

Так

как

Yi(0 =

^i

т0

Yi(T) = 0

при любом

т > / .

Тогда

1

В2 т / 2

Так

как

Y2(0:

—

1

-[2(т )= ^ -

--------—, то

/ 2

тс4

Т2 ( х)

i -

Ц _ 2 Р я (х — О]-

У

2 тс‘

Согласно (38.48)

-

- 2.( -

i

L

^Xs-(у)

Г

cks (т) =

(е-Уа) йу=

р ] / 2 кй ! / т с £

^Ук 2

1

Так как Yi (t) = 0

и Тгк—х(^) = 0

(k — Z, 4,

...), то из

полученной

системы находим Тгк—i ( 0 = 0 (& =

3, 4, ...),

т. е. все функции

1.(0

с нечетными индексами тождественно равны нулю. Если s =

2k, то

W

+ р(0 = р2 /(2 А + 1) (2Л+ 2) т2к (О

( k = i ,

2, ...).

Из этого уравнения при k = 1 находим

т « ( 0 = —

— ------------------~

[ ( х - о

- р 2 ( ^ - О

г] =

31!

где

w0 (у, т) = 0. Функциональную поправку

(у,

т)

представим

в виде

Д^МУ,

(У)*

(38.52)

где

ш8(г/) — заданная аппроксимирующая функция,

a

(т) — неиз­

н-СО

х) — Ws-tiz,

х) — xs (x)u>3(z)]2rfz.

(38.53)

Х(т)

Дифференцируя это выражение по

*s (т), находим

д 1 _ _ _

М-)

2 j [w3(z,

x) —

(z, x) — xs (x) tos (z)] 0>s (z) dz.

(38.54)

dxs ~~

X(-c)

Полагая

M~ = 0 ,

получаем

следующее

выражение

для

функции

xsW :

-1

iiW

[w3 (z,

х) - ws_! (z,

x)] (0S(z) dz.

Г

w

(38.55)

Функцию

cos (z) можно выбрать так, чтобы при x — t выполнялось

условие нормировки, согласно которому

И»)

(38.56)

f [u>s(z)]2t f z = l .

X(t)

Из (38.51) и (38.52) следует, что

Щ{У, ^ —

’с)4 - * э('0 ш8(у)-

(38.57)