|
j-1 Q (у» |
^ v) |
J (os (z) dz |
|
у) |
|
|
|
Ч~) |
|
Х(т) |
|
1
|
—1 ^(т) |
|
U |
|
____
|
|
.»/f Q(y, s |
и) |
f (Og(Z) fife du dv. (38.60) |
|
Х(х) |
- X(x) |
Функции Ва(у, т) и -4S_! (у, т) могут быть вычислены, если известны аппроксимирующая функция <«s (у) и производная по т от (s — 1)-го приближения ws- 1(y, т) искомой плотности распре деления. Для определения 5-го приближения rws(y, т), как следует
из (38.58), необходимо еще знать функцию *s (т). Чтобы получить дифференциальное уравнение относительно *s(x), подставим (38.58) в (38.55). Тогда получим
|
F -(T) |
\ |
|
|
Ва (z, х) ш8 (z) dz + |
|
|
j К |
(z)]2 dz y.s (x) = y.s (т) Г |
|
|
Х(т) |
> |
|
Х(т) |
|
|
|
+ |
(40 |
х) — Ws_j (z, |
x)] o)s(z ) rfz , |
(38.61) |
|
J [Л8_! (Z, |
что можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
b ) ~ D s(х) xs (х) = Fa(х), |
(38.62) |
где |
|
|
|
|
|
|
А |
(*) = |
есО |
j |
Вs (Z, |
x) o>s (z) fife |
(38.63) |
j К (2)]2 dz |
|
|
X(t) |
L X(x) |
|
|
|
Fa(x) = |
V-b) |
(Z, x) — Лs—! (z, |
x)] ms(z)dz j Bs(z, x) 0)g (z) dz |
Г |
|
л(т) |
|
|
|
J |
j |
|
|
|
|
.. ХX((тt) |
|
|
|
|
|
|
(38.64) |
При известных u>s(z) и ®)s_ 1 (z, т) из дифференциального уравне
ния (38.62) можно найти функцию y-s(x), а затем *8(т)- Данная функция содержит произвольную постоянную CS) которая нахо дится после подстановки *s(tO в (38.58) из условия нормировки плотности распределения в начальный момент времени t, т. е. ис ходя из равенства
p-(t) |
(38.65) |
Г wa(x, t)dx — 1. |
Щ
Аппроксимирующая функция ws (у) выбирается так, чтобы наилучшим образом удовлетворялось начальное условие для ииъ{У, т), соглас'но которому должно быть
где f(x; i) — плотность распределения начальной ординаты случай
ного процесса. |
0, то первое приближение для w(y, т) |
опре |
Так как w0(y, т) = |
деляется формулой |
|
|
|
|
|
|
w l ( y , ^ ) = B 1(y, О М х), |
(38.67) |
причем xi (т) удовлетворяет |
дифференциальному уравнению |
|
/.i (^) = |
D i (t) x1(t). |
(38.68) |
Тогда |
|
|
|
|
|
у.1(т) = |
С, ехр |
j А (X) ОХ , |
|
(38.69) |
а потому |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Щ{У> x) = |
C1D1(t) 5 1(у, т) ехр |
|
(38.70) |
Воспользовавшись условием |
нормировки (38.65) |
при s = l , |
полу |
чаем |
|
|
|
|
|
|
А (О f |
(л, t) dx |
|
(38.71) |
|
|
m |
|
|
|
Функция Wi(y, т) будет удовлетворять заданному начальному усло
вию, если |
n(t) |
|
|
- |
|
|
Вх(х, t) |
I* Вх (х, t) dx |
= f(x; t). |
(38.72) |
. |
т |
|
|
Аппроксимирующую функцию coi (у) следует выбирать так, чтобы наилучшим образом выполнялось данное равенство.
Определив ш>\(у, т), для второго приближения искомой плотно сти распределения w(y, т) согласно (38.58) находим
{У, ч)= = ^ 1 {У, х) + в 2(у, т)х2(т), |
(38.73) |
причем х2(т) удовлетворяет дифференциальному уравнению
х2(т) — D2(x)x2 (t)— F2{%). |
(38.74) |
Решение этого уравнения записывается в виде
A — j A ( rt) exp - f А (6) dX dfi J.
t
(38 .75)
Зная %2 (т), получаем |
|
|
|
*>2 {у, х) = |
А1(у, т) + В2(у, x)[F2(t) + D2(x) kz(x)1 |
(38,76) |
Воспользовавшись условием нормировки |
(38.65) при s = 2, |
прихо |
дим к равенству |
|
|
|
|
P-(t) |
|
SJ-(t) |
t)dx. |
(38-77) |
1 = Г A ^ x, |
t)d x + \ F 2(t)+ C 2D2{t)} f В2(х, |
X (t) |
|
X(t) |
|
|
Поэтому |
(ДО |
—i |
|
|
|
|
f |
B2(x, t)dx |
|
|
X(t)
(38.78)
Аппроксимирующую функцию g>2(у) следует выбирать так, чтобы второе приближение w2(y, т) наилучшим образом удовлетворяло начальному условию, согласно которому
/(*; t ) = w 2(х, t)=bAi(x, t) + |
|
+ |
В2(х, |
t)[F2(t) + |
D2(t)C2], |
(38.79) |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p-(t) |
|
f(x, t) = A 1{x, |
t) + |
B2(x, |
t) |
1 — |
f A j (x, |
t) dx X |
|
|
|
|
|
A) |
|
X |
- Mt) |
|
|
- —1 |
|
Г |
B2 (x, |
t) dx |
|
(38.80) |
|
- МЧ |
|
|
|
|
|
где Ai (x, t) — известная функция, |
a B2(x, |
t) зависит от g>2(я) . |
При необходимости |
после определения |
w2(y, т) |
можно найти |
третье и последующие приближения для искомой плотности рас пределения непоглощенной части процесса. Каждое следующее приближение вычисляется аналогично предыдущему, поэтому дан ный приближенный метод вычисления нестационарной плотности распределения может быть реализован на цифровой вычислитель
ной машине. |
(38.59) |
и (38.60) для функций As_! |
(у, |
т) |
Расчетные формулы |
и Bs (у, т) |
справедливы |
только |
в том случае, когда обе функции |
Л(т) и ц(т) ограничены. |
Если функция Я(т) ограничена, а ц = |
со, |
то с помощью щнтегро-дифференциального уравнения |
(37.20) для |
этих коэффициентов получаются следующие выражения: |
|
|
|
у |
|
оо |
|
|
|
^ s —1 (у> г ) = |
^ У)" ^ Q (У’ |
шз—1 (&> х) dz |
dv\ |
(38.81) |
|
>■0) |
|
Lv |
|
|
|
Mz)
и ограниченной функции еМ
J
У
у)f-jQiy»'5, ®)
- 2
В. ( у, х)
b (i,
При Я = — оо находим:
л - ' < *
00
J">s(z)dz dv. (38.82)
V
р (т) с помощью (37.24)
®V-1 (2, Т) fife dv;
|
|
|
|J.(г) |
‘ |
|
v |
|
|
(38.83) |
|
|
|
|
|
|
|
Д .(у ,т) = |
ь (7 -2у- |
j* Q (y. |
*») |
j |
“ , ( 2)d 2 |
(38.84) |
Если Я= |
— со , а 11 = |
00, то из |
(37.25) |
и |
(37.26) вместо |
(38.58) |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®8(У, |
■) = |
es('c)^ (y . "О + -As-i (У. т) + |
5 s(y, 't)*9('c); |
(38.85) |
|
es (') * (“« )+ |
as-i ("О + |
Ps (t) |
fr) = |
Ь |
(38.86) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г а (т, 2) |
fi?Z |
|
л <У’ |
z)~ w |
r w exp |
2 J |
*(*, |
2 ) |
(38.87) |
„Уо
^ s - l ( y . '') = '■ |
Q(y, *, v) |
1 (2, т) fl?z |
dv: |
(38.88) |
&(*> У) |
|
К |
|
|
|
2 |
Q(y, |
■») |
, (2) <*Z |
dv; |
(38.89) |
5s (У, Т) = |
у) |
|
|
|
|
|
а (т) = |
j Л (у, |
т) dy; |
|
|
|
ViW - |
j* 4-i(y,t)^y; |
(38.90) |
|
— oo |
|
oo |
|
M T) = j |
5s(y, t)dy. |
|
I
