Исключая из (38.85) и (38.86) неизвестную функцию 0S(т), при ходим к равенству
Щ ( у ’ |
^ = I z f i f f1 ~ as_1 ^ |
~~ ^ |
Y's ^ |
А (У’ |
^ |
+ |
|
|
+ ^s-i (у, |
т) “Ь А |
(У, т) *s (т)- |
|
|
(38.91) |
Подставляя |
это выражение |
в |
(38.55), с |
учетом |
(38.56) |
получаем |
*s (т) |
= |
j - ^ y - U - |
as— 1 (■)] Л (2, |
*) + A - i [г. |
т) |
- |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
те15_ ,(г , т) |
|
о)s(z)dz-\- <(■:) |
А |
( г , т) |
?# Л ( г , |
*) |
(0S(г) dz. |
|
|
|
|
I |
|
а ( г ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(38.92) |
Данное соотношение совпадает с дифференциальным уравнением
(38.62), если положить: |
|
|
1 |
|
А (г, т)-М 1л(г, |
т) ; (2) ^2 |
А М ; |
(38.93) |
|
оо |
|
|
|
А СО= А (О J [w.-i (2, |
0 - |
Л-! (z. *) - |
|
|
1—«S-1 ООЛ (г, о |
; (г) *fe. |
(38.94) |
|
а(т) |
|
|
|
Таким образом, при любых граничных условиях s-e приближе ние ws (у, т) для искомой плотности распределения находится по
формуле (38.58), а функция *s (г) определяется как решение диф ференциального уравнения (38.62), однако в зависимости от вида граничных условий коэффициенты этих выражений вычисляются по различным формулам.
§ 39. ВЫБРОСЫ МАРКОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Выбросом случайной функции X(t) за уровень 0 называется пе ресечение снизу вверх реализацией x(t) этой функции прямой X — Q (рис. 5). В корреляционной теории выбросы рассматриваются в предположении, что случайная функция X(t) дифференцируема хотя бы один раз. Для числовых характеристик случайных вели чин, связанных с выбросами, при этом получаются часто исполь-
зуемые в приложениях простые расчетные формулы. Пусть, напри мер, X(t) — стационарная нормальная случайная функция с мате
матическим ожиданием х и дисперсией о\. Тогда математическое ожидание числа выбросов за уровень 0 в единицу времени опреде ляется формулой
|
( 8 - х ) а |
|
я, |
2 |
(39.1) |
2аX |
где — дисперсия случайной функции V( t ) = |
. |
Выражение (39.1) и другие расчетные формулы корреляцион ной теории выбросов нельзя использовать для марковских случай ных процессов, так как эти процессы не дифференцируемы. Любая реализация марковского случайного процесса представляет собой плавную кривую, на которую наложена весьма быстро осциллирую щая кривая. Вследствие этого за одним пересечением уровня х == 0 следует серия из бесконечного числа близких пересечений данного уровня. Указанные выбросы следуют один за другим настолько быстро, что их не могут различить регистрирующие устройства. Математическое ожидание числа таких выбросов равно бесконечно сти, что согласуется с формулой (39.1) при av = со.
Каждая серия из бесконечного числа пересечений уровня х = 0 для марковского случайного процесса имеет конечную продолжи тельность. После такой серии следует конечный не равный нулю интервал, на котором ■отсутствуют пересечения, а потому имеются выбросы конечной продолжительности. Физические системы вслед ствие их интерционности реагируют не на все выбросы, а только на те из них, которые имеют продолжительность больше заданного значения х. Поэтому для марковского случайного процесса вместо
пй будем определять математическое ожидание яе (х, t) числа
выбросов за уровень 0 в единицу времени, при которых время пре бывания случайной функции X(t) выше уровня 0 превосходит х.
Пусть f (у, т) — одномерная плотность распределения марков ского случайного процесса X(i). Данная функция является реше нием уравнения Колмогорова
% + ^ 7 И (Ч У) f (у, |
•')] — J |
\ь К |
У) / (У- |
■=)] = 0 |
(39.2) |
при соответствующих начальном и граничных условиях. |
Когда ко |
эффициенты сноса а(т, |
у) и диффузии |
Ь(х, у) |
не зависят от т и |
существует стационарная плотность распределения f(y), при боль
ших значениях т функция f(y, т) близка к /(</), причем f(y) |
опре |
деляется формулой (32.12). |
в дан |
Рассмотрим малый интервал от t до t + At. При At 0 |
ном интервале может быть не более одного выброса продолжитель ностью больше х. Вследствие этого математическое ожидание
\ть (х, t) числа выбросов за уровень х, начинающихся в интервале
[t, t -j- Д(] и кончающихся при т > t |
At ф- х, равно вероятности |
AP(t) появления указанного выброса |
в рассматриваемом интер |
вале. Искомое математическое ожидание числа выбросов за уро
вень 0 продолжительностью больше |
х в единицу времени связано |
с вероятностью AP(t) равенством |
|
|
|
йе (х, t ) = |
it-о |
At |
• |
(39.3) |
При определении вероятности AP(t) |
следует считать, |
что в ин |
тервале от t до t + At процесс |
пересекает уровень х = |
0 хотя бы |
один раз, а в интервале от t + |
At до t + |
+ х значение функции |
X(t) |
превосходит 0. |
плотность распределения |
f(y, т) мар |
Представим одномерную |
ковского случайного процесса X(t) при t |
t -f- At |
в виде |
|
f(y, x) = |
wl(y, т )+ w3(y, т), |
(39.4) |
где |
W\(у, т) — плотность |
распределения |
реализаций |
случайного |
процесса X(t), которые в интервале [t, t-\-Af\ ни разу не пересе кают уровень X— Q и находятся выше этого уровня, a w2(y, т) — плотность распределения оставшейся части процесса. Каждая из
функций Wj (у, х) |
( j = l , 2) является решением уравнения |
(39.2). |
Чтобы определить W\(y, т) при |
t-\-At, нужно рассматри |
вать исходный случайный |
процесс X{t) с |
плотностью распределе |
ния f(y, х), для которого |
прямая x = |
Q является |
границей |
погло |
щения. В начальный момент времени t |
ордината |
этого процесса |
х > 0,’ плотность распределения совпадает |
с f(x, t), а потому на |
чальное условие записывается в виде |
|
|
|
|
«>i(y, |
т) |T=t_ |
= / (х, t) |
при х > 8 , |
|
(39.5) |
где t- — предельное значение t при стремлении к этой точке слева.
Граничное условие для W\(у, |
т) |
нулевое |
на границе |
поглощения |
х = 0 , |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wi (0, |
х) = о при t |
|
-|- м. |
|
|
(39.6) |
Из |
(39.4) — (39.6) |
следует, |
что |
для w2(y, т) |
начальное |
и гра |
ничное условия следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
w2(y, х) |T=t_ = |
0 |
при |
у > 0 ; |
|
|
(39.7) |
|
® 2(0, |
х) |
при |
t |
|
\t. |
|
(39.8) |
Вероятность появления выброса в интервале [t, t -f- Af| |
равна |
вероятности того, что при |
i < t |
At |
хотя бы один раз уровень |
х = 0 |
пересекли реализации, |
которые в |
момент |
t -)- At находятся |
выше |
уровня х = 0. |
Плотность |
распределения |
этих |
реализаций |
равна w2(y, ^+'Д0> |
а потому вероятность появления выброса |
|
ЛЯп |
|
|
|
|
|
|
(39.9) |
Появившийся выброс может иметь продолжительность меньше или больше х. Чтобы определить вероятность того, что начавшийся вы брос не кончится к моменту t -f- + х, рассмотрим плотность рас пределения w2(y, т) и при т > t -f At,' считая прямую х = 0 грани цей поглощения для рассматриваемой части процесса. Тогда на
|
чальное условие для w2(г/, т) |
также будет иметь вид (39.7), а гра |
|
ничное условие |
/(6, |
х) |
при |
t-4t.x |
t М; |
|
Щ (9, У) = |
|
О |
|
при |
х > |
(39.10) |
|
|
|
Д21. |
|
Чтобы упростить последнее граничное условие, положим |
|
®2(У, Т) = |
f(0, |
t)v(y, x)At. |
(39.11) |
Так как /(0, t) п At не зависят от у и т, то функция v (у, т) также удовлетворяет уравнению (39.2). В соответствии с (39.7) началь ное условие для этой функции записывается в виде
v(y, т)|т=1- = 0 при г/>0. |
(39.12) |
Граничное условие (39.10) принимает вид
ц ( 0 , х) = й Ж Ъ |
При |
+ |
(39.13) |
Опри x>t-\-\t.
В пределе, когда At -»0 , из (39.13) |
при непрерывной |
функции |
f(e, т) получаем следующее граничное условие: |
|
о(0, т ) = 6 ( т — t) |
прит!>^. |
(39.14) |
Для |
вероятности AP(t) |
того, |
что начавшийся |
в интервале |
[t, t -j- АО выброс не кончится к моменту t -j- At -)- х, |
находим |
AP(t) = |
j w2(y, t-\-At + |
v.)dy |
00 |
|
(9, t) j* v (y, t + b t + *)dy. |
|
e |
|
|
(39.15) |
|
|
|
|
Воспользовавшись равенством (39.3), получаем расчетную формулу для математического ожидания числа выбросов за уровень 0 про должительностью больше х в единицу времени:
«е(х> 0 = / |
( 9, t) |
t + |
*)dy. |
|
(39-16) |
Таким образом, для |
определения |
/ге(х, t) |
необходимо |
знать |
плотность распределения f(x, t) процесса |
в момент t при x = Q и |
решение дифференциального уравнения (39.2) при начальном условии (39.12) и граничном условии (39.14).
Рассмотрим случай, |
когда коэффициенты сноса а(т, у) |
и диф- |
'• фузии Ь(х, у) не зависят от т. Тогда можно принять |
|
|
|
и(У, т ) = Vi(y, -п), |
(39.17) |
где Ti = |
t — t. функция |
Vi(y, тД является решением дифференци |
ального уравнения |
|
|
d^ |
+ j y l a ( y ) v A y , 4 ) ] - Y ^ { b ( y ) ^ ( y > ^ } - ° |
(39л8> |
при следующих начальном и граничном условиях:
Vi(y, tj)|,J=o- = |
Опри y > Q; |
(39.19) |
щ (!0, x i ) = 6(ti) |
при ti !>0. |
(39,20) |
Кроме того, на бесконечности, т. е. |
при у — о о , равен нулю поток |
вероятности |
|
|
S(y, •'i) = a(y)vl (y, тД— ~ ^ { b ( y ) v l {y, т,)]. |
(39.21) |
Для решения уравнения (39.18) иногда удобно использовать преобразование Лапласа (или Лапласа — Карсона). Положим (при
Res > 0)
у (у, s )= j e-^Vjiy, z1)dxl |
(39.22) |
