С у ч е т о м (3 9 .1 9 ) н а х о д и м
j*e ~ S Z l Ж7 dZl = e ~ S X l V i
^ |
+ s j* e_ST' v Y(у, чх) dxy |
Xj=0— |
= s V (у, |
s) при |
у > 6. |
|
Умножив обе части равенства |
(39.18) |
на e~STl и проинтегрировав |
результат умножения по %у от 0 до оо, получаем |
|
^ [Ь (У) V (у, s)] - 2 щ [а (у) V (у, s)] |
- 2s У (у, s) = 0. |
(39.23) |
Данное выражение представляет собой однородное линейное обык новенное дифференциальное уравнение второго порядка относи тельно функции V(y)=V(y, s). Если подставить (39.20) в (39.22), то получается V(0, s ) = l . Кроме того, из условия оДоо, ху)=0 следует, что должно быть V(oo, s) = 0. Поэтому дифференциальное уравнение (39.23) нужно решать при граничных условиях
У (6, s) = l ; |
У(оо, s) = 0. |
(39.24) |
Граничные условия можно сделать однородными, если от |
V(y, s) |
перейти к новой неизвестной функции W(y, s), положив |
|
V(y, s)= W (y , s)+ U (y ), |
(39.25) |
где U(у) подбирается так, чтобы было |
|
|
Я7(0, S) = 0; |
Г ( о о , s) = |
0. |
(39.26) |
Такой функцией является, например, U(y) = |
(у-е\ где р — поло |
жительная постоянная.
Дифференциальное уравнение относительно функции W(У, s)
неоднородное и записывается в виде |
|
~ |
[Ь (у) W (у, S)] - |
2 ^ [а (у) W (у, s)] - 2sW (у, s) = |
со (у, 5), |
|
|
|
(39-27) |
где |
|
|
|
* (У, |
s) = 2s U ( y ) + ^ |
[a { y < ) U (y ) ] - ^ [ b ( y )U ( y ) ] . |
(39-28) |
Решение краевой задачи для уравнения впда (39.27) с однород ными граничными условиями (39.26) рассмотрено :и § 36.
В некоторых случаях вместо яе(х, t) удобно находить сначала изображение этой функции, т. е.
NB(s) = j e~sx «в (*, t) d-*.. |
(39.29) |
0 |
|
Так как
|
(*, О = / ( 0. t) J |
®i(y, |
*)dy, |
(39.30) |
|
т h |
|
|
то |
e |
|
|
|
|
ее |
|
|
|
|
|
(39.31) |
|
Nt (s) = f(b, |
*)J Р(У. s)dy. |
Согласно (39.23) |
|
|
|
V b . |
» ) = 2 7 ^ { ^ [ * ( у ) Г ( у , 5 ) 1 - 2 а ( й 1 / ( у , s) |
|
|
|
(39.32) |
На бесконечности поток вероятности исчезает, a F(0, |
s) = l. По |
этому после подстановки (39.32) в (39.31) |
находим |
|
|
|
|
dF(0, s) |
1 |
|
а д = - ] - / ( 9> *)' |
|
дЬ |
(39.33) |
Зная изображение Nb(s), с помощью таблицы преобразования Лап ласа можно найти оригинал пв (к, t ) .
Пример 39.1. Определить математическое ожидание числа вы бросов за уровень 0 продолжительностью больше х в единицу вре
|
|
|
|
|
мени, если |
коэффициент |
сноса а(т, у) — 0, |
а коэффициент диф |
фузии Ь(т, |
у) — р2, где |
р — положительная |
постоянная. Одномер |
ная плотность распределения случайного процесса равна f(x, t). |
Р е ш е н и е . При заданных |
коэффициентах сноса и диффузии |
дифференциальное уравнение |
(39.23) записывается в виде |
F - W — 2 s V - ° -
Общее решение этого однородного дифференциального уравнения записывается в виде
|
|
|
|
F(y, S) = C V ^ |
+ С 2е |
__—p2s |
|
|
|
|
|
Э . |
|
Условие |
F ( c o . s ) = 0 выполняется только в том случае, если С1— 0. |
Так |
как |
должно |
быть |
F(0, |
s ) = l , |
то |
-P2s ’ |
а потому |
С2 = еР , |
V(у, |
s) = |
e |
--- -- (у—б)Y2s |
|
|
е |
а s соответствует |
оригинал |
3 |
. Изображению |
2у^и |
-е |
4-с,. Заменяя а на |
/ 2 |
(У — 9), нолучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
ft |
|
(у- 0)2 |
|
|
|
|
|
Му. |
xi) |
Р ■/2ктЗ |
|
2(3^, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В осп ол ьзовавш и сь ф ор м ул ой |
(3 9 .3 0 ), |
находим |
|
|
/(в, t) |
|
(у-8)а |
N ( М ) |
«в (*, t) |
— 0) в |
2^ dy = |
|
j3 У 2ТСХ8 |
|
|
"*/2т:х |
Пример 39.2. Определить математическое ожидание числа вы бросов за нулевой уровень продолжительностью больше х в еди
ницу времени, если коэффициент сноса |
а(т, у) = — ау, |
а коэффи |
циент диффузии b(т, у) — р2, где а и р |
— положительные постоян |
ные. |
|
уравнение |
Р е ше ни е . В данном случае дифференциальное |
(39.23) записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 а |
|
Перейдем от аргумента у |
к г, |
положив z = у |
Р |
' |
Так как |
dy ~ dz |
р |
’ |
|
dW _ |
d W |
|
2а |
|
|
dy2 |
dz2 |
|
р ’ |
|
уравнение принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
d2V . |
dV |
, |
. |
1^=0, |
|
|
dz2 + |
2 * r |
+ |
<1- ,) |
|
|
s где v = — .
a
Общее решение полученного дифференциального уравнения сле дующее:
V (у, s ) = e |
** [C ,D _,(z)+C sD_, (— «)], |
|
где D-vt^) — функция параболического цилиндра. Условию |
обраще |
ния в нуль при 2 = оо |
удовлетворяет только первая из этих функ |
пий, а потому должно |
быть |
С2 = |
0. |
Так как V(0, s ) = l , |
то С\= |
= [Dv (О)]-1 . Для функции D _v(2) |
справедливо следующее инте |
гральное представление: |
|
|
|
|
, D _ v(2) = |
|
|
е |
i l |
|
Щ * |
4 |
2 xw~l dx. |
|
|
I |
|
|
|
Полагая х — j/ 2т), получаем |
|
|
|
1 |
Г - —х1 |
2 2 |
е |
__ 1 |
D - ( ° ) = r w |
оJ е ’ |
x’~ 'd x = — ) о |
vj2 fifvj |
|
|
2
Г ( v)
Следовательно,'
F(y, s) = 2 |
2 |
T(v) |
e" * |
D_v(z) = |
|
|
i - i |
|
|
" |
Г ( “ |
|
yaa |
|
|
e |
' W |
|
-■/"2a |
= 21- ^ |
A |
l l - |
*9‘ D |
|
Г
Согласно (39.33) при 0 = 0 находим
= - £ - / ( 0, № ' ~ * - ) JL!r}^ LD ’ 1_(0).
г (
2a
Имеет место следующее соотношение:
г
^ (z) + -g (г) — т А - i (г ) — О-
Поэтому
D ll . (0) :
a
Тогда
‘ |
Р |
t) |
N As)=£ =f(0, |
|
V я ' |
' |
Г ' ^ + ^ / 2т . Ч
г | ^ + т ) г / 5
