Файл: Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок.pdf

радиуса R ± (см. рис. 102) не радиальные, а касательные напряже­ ния. Окончательные выражения имеют следующий вид:

Сходная формула (при отсутствии слоя забутовки и Лт = 1 ) была получена ранее JI. А. Джапаридзе [60].

При заполнении закрепного пространства кусками породы (Езаб ^ 0,01 Е) коэффициент Ат можно определять по графику (рис. 105). Для плоской поверхности контакта крепи и пород коэффициент

касательного отпора может быть определен по формуле

§ 31. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ

В основу расчета крепи выработок некруглого сечения положен метод начальных параметров, который для подземных конструкций, по-видимому, впервые применен С. Н. Веркиной (см. § 14). По сравнению с методом сил или перемещений (например, метод Метрогипротранса), согласно которым число неизвестных (реакций) соот­ ветствует числу упругих опор, метод начальных параметров позво­ ляет сократить число неизвестных. Неизвестными являются началь­ ные параметры, число которых не зависит от числа опор. Это позво­ ляет существенно сократить время вычислений, что имеет значение при расчетах на ЭВМ. Например, расчет одной и той же конструкции крепи по программе СМ-4 (расчет рамных конструкций) занимает 30 мин на ЭВМ «Минск-22», а по программе с использованием метода начальных параметров — немногим более 2 мин на ЭВМ «Наири».

Метод начальных параметров в матричной форме разработан применительно к обычным конструкциям А. П. Филиным [170].

2 2 0

называется м а т р и ц е й из т строк и п столбцов. Частными случаями прямоугольной матрицы являются матрица-строка (т ~= 1), матрица-столбец (п = 1) и квадратная матрица п-то порядка (тп = = п). Диагональ квадратной матрицы, на которой располагаются элементы аіі при і = называется главной диагональю. Квадрат­ ная матрица гс-го порядка называется единичной матрицей, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. О п р е д е л и т е л е м квадратной матрицы п-то порядка называется ч и с л о , представляющее собой

Вычисление определителей более высокого порядка производится с использованием м и н о р о в . Если в матрице п-то порядка вы­ черкнуть строку і и столбец у, то определитель, порожденный остав­ шейся матрицей (п—1)-го порядка, называется минором элемента ait\

Алгебраическим дополнением элемента atj называется величина

Определитель Ап равен сумме произведений всех элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

1)определитель не изменится, если его строки сделать столбцами,

астолбцы — строками;

2)при перестановке двух строк определителя он меняет знак;

3)общий множитель элементов строки можно вынести за знак

определителя; 4) если в определителе имеются две одинаковые строки или

элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то опре­

21

называется матрица

элементы которой с(;- представляют собой алгебраическую сумму произведений элементов і'-строки матрицы 4 и / — столбца мат­ рицы В:

Из определения следует, что количество столбцов в первом сомножителе — матрице А — должно быть равно количеству строк второго сомножителя — матрицы В. Матрица С содержит т строк, как в первом сомножителе, и к столбцов, как во втором. Из определе­

Роль единицы в умножении квадратных матриц играет единич­ ная матрица Е, которая в противоположность общему правилу перестановочна с любой матрицей А данного порядка:

щаяся из присоединенной матрицы А* делением всех ее членов на

222

Произведение матрицы А на обратную матрицу дает единичную матрицу

Если известно произведение двух матриц С и один из сомножите­ лей А

то неизвестный сомножитель может быть найден путем умножения матрицы С на обратную матрицу А~х:

іЧатрица А т, строки которой являются столбцами исходной матрицы А , а столбцы — строками, называется т р а н с п о н и ­ р о в а н н о й (по отношению к исходной матрице ^4):

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке:

Вывод основных уравнений метода начальных параметров

При расчете крепь моделируется стержневой системой, причем криволинейное очертание заменяется ломаным (ломаная линия впи­ сывается в кривую, рис. 106). Как показал еще С. П. Тимошенко, такое допущение справед­ ливо (погрешность не пре­ вышает 10%), если выпол­ няется условие

Это условие удовлетво­ ряется практически для всех применяемых конст­ рукций крепи.

Распределенная нагруз­ ка на крепь, действующая в плоскости стержня, за-

223

меняется сосредоточенной, приложенной в узлах расчетной схемы. Пусть заданы начальные параметры — статические (силовые)

и кинематические факторы: М 0, N 0, Q0, и 0, ф0 в точке 0, а также нормальные и касательные усилия Рп, Тп (первая расчетная схема),

которые заданы проекциями Хп, У„ на оси х, у (рис. 106). Смещения поперечных сечений ломаного бруса определяются известным диф­ ференциальным уравнением изогнутой оси

Кроме того, на смещения оказывает влияние осевое сжатие прямо­ линейных элементов, определяемое зависимостью

Nili

(31.16)

EiFi

На участке Іх внутренние силовые факторы составляют:

М х= М 0+ Q0s — (Х0sin ах— У0 cos щ) s;

N x =~N0- (X0cos ax-|- У0эіп a x).

Подставляя значение M x в уравнение (31.15), интегрируя его в пре­ делах Іх и имея в виду, что постоянные интегрирования представляют собой начальные кинематические факторы, получим следующие выражения для смещений конца первого отрезка ломаной (узел 1):

(см. рис. 106) с учетом продольного сжатия этого отрезка (31.16) составляют:

(* 0sin ai — Y ocos ai) 7^777 cosai — Оч, cos ai + Y 0sinax) - ~ ^ s i n ax.

6EX1

1 (31.20)

224