Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Подставим решение (2.7.12) в уравнение (2.7.10):

Ф(/, <0) »-+-Ф (/, /0)» = А(/)Ф(/, *„)« + </(/).

Воспользуемся соотношением (2.7.6). Получим

/0)и + Ф(/, ди=Л(/)Ф(<, а + <*(/),

где К{х, t0) — матрица Коши.

Таким образом, решение неоднородной линеаризованной мо­ дели выражается в квадратурах, причем в выражении под ин­ тегралом возмущения входят линейно. Кажущаяся на первый взгляд трудность связана с необходимостью обращения матрицанта. Однако она легко преодолима, поскольку матрицант принадлежит обычно к классу симплектических матриц, удовлет­ воряющих условию

51

и его обращение сводится к простой перестановке и транспони­ рованию подматриц исходной матрицы. Пусть, например, матрицант представлен подматрицами Фп, Ф12, Ф21, Ф22, т. е.

Полезно также отметить, что для линеаризованных уравне­ ний справедлив принцип суперпозиции, позволяющий получить общее решение неоднородных уравнений в виде линейной комби­ нации решений для каждого из совокупности возмущений d (t) и начальных воздействий. Использование этого принципа облегча­ ет построение алгоритмов обработки результатов измерений осо­ бенно в задачах анализа движения.

2.7.3. Матрицант и матрица Якоби

Пусть имеется набор функциональных зависимостей

Для таких зависимостей можно составить матрицу Якоби

Если матрица (2.7.22) квадратная, т. е. т —п, то для нее су­ ществует Якобиан, представляемый числом или некоторой функ­ цией. В нашем случае вектор-столбец х общего решения (2.7.18) можно рассматривать как функцию и записать

52

Для решений (2.7.23) также можно построить матрицу Яко­ би. Поскольку при построении такой матрицы зависимость от времени во внимание не принимается, то, учитывая (2.7.18), по­ лучим

Аналогичный результат получится и для решений (2.7.8) од­ нородной модели. В данном случае матрица Якоби будет квад­ ратной (п Х п ). Таким образом, можно утверждать, что матрицант — это матрица Якоби, получаемая дифференцированием ре­ шения системы линейных уравнений по начальным условиям.

2.7.4. Основные свойства матрицанта

При решении практических задач полезно иметь в виду основ­

Сравнивая (2.7.30) и (2.7.27), получаем доказательство свой­ ства (2.7.26). Из свойства п. 2 следует, в частности, формула, выражающая матрицант для интервала (Yo, t], произвольным об­ разом разбитого на т участков (^ , t$+i), через произведение матрицантов этих участков:

53

Воспользуемся свойством п. 2. Положим в соотношении

{2.7.26) t=to- Получим

ф (^о. ^1)ф (А> *о)= Е-

Отсюда следует равенство (2.7.32).

2.7.5. Преобразование матрицанта при линейном преобразовании параметров движения

Пусть х (t) вектор-столбец, характеризующий движение объ­ екта в одной системе координат и удовлетворяющий модели

(2.7.1), а х ( t ) — вектор-столбец, характеризующий движение

объекта в другой системе координат. Вектор х (t) связан с век­ тором л: (t) линейным соотношением

где L(t) — некоторая неособенная матрица линейного преобра­ зования. В соответствии с (2.7.8)) имеем

§ 2.8. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим возможности сокращения затрат машинного вре­ мени, необходимого для интегрирования линеаризованных моде­ лей движения. Разобьем основной интервал (70, t\ на т частей,

54

Выберем в интервале [4 -i, t^\ промежуточную точку тГф(ф = 1, 2 ,..., т). Тогда, считая д ^ малыми величинами первого по­

где АФ— сумма членов начиная со второго порядка малости.

Ф(*. д = е Л(Тт>АЧ А(т'в- 1)4<т- 1. . . е ^ 2)А/геЛ(Х1)А'* + дФ (2.8.5)

и

Ф (t, t0)= [E + Л (тя ) Мт] [Е + А (тт _!) д ^ -i]. • • [Е + A (t2) д*2] X

Переходя в (2.8.6) к пределу при неограниченном увеличе­ нии числа интервалов разбиения и стремлении к нулю длин этих, интервалов (при предельном переходе малые члены исчезают) * получаем точные предельные формулы

Выражение, стоящее под знаком предела в правой части ра­ венства (2.8.7), представляет собой интегральное произведение. Предел его называют мультипликативным интегралом*. Таким образом, формула (2.8.7) дает представление матрицанта в виде мультипликативного интеграла, а формулы (2.8.5) и (2.8.6) мо­ гут быть использованы для приближенного вычисления матри­ цанта. Преимущество определения матрицанта по формулам (2.8.5) и (2.8.6) по сравнению с обычным методом численного интегрирования уравнений (2.7.1) состоит в том, что не требует­ ся вычислять несколько раз значения матрицы A(t) внутри шага интегрирования, как этого требует, например, метод Рунге — Кутта, что ведет к существенной экономии машинного времени.

* Мультипликативный интеграл впервые ввел Вольтерра в В887 г. [21].

55