Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
ности модели при 6-Ю и 6—>-я. При интегрировании уравнений этой модели приходится либо обходить указанные особые точки путем изменения шага, либо переходить к новой системе отсче та в моменты, когда угол 6 близок к нулю или 180°. В модели движения с использованием направляющих косинусов матрица -Л0>1 линейного преобразования является ортогональной, ее опре делитель равен ±1. По это означает, что модель (2.2.14) являет ся невырожденной в принятом выше смысле. Однако при инте грировании уравнений этой модели необходимо обращать вни мание на соблюдение свойства ортогональности матрицы Л0д, так как оно может нарушаться за счет ошибок численного инте грирования и возможного влияния ошибок измерений в случае, когда результаты измерений используются для формирования
элементов этой матрицы. В модели движения |
(2.2.17) с исполь |
||
зованием |
параметров Родрига— Гамильтона |
определитель мат |
|
рицы |
линейного преобразования первых трех уравнений мо |
||
дели равен £0, что свидетельствует о |
невырожденности и этой |
||
модели. |
образом, выбор в качестве |
параметров ориентации |
|
Таким |
|||
направляющих косинусов или параметров Родрига — Гамильто на позволяет снять вырожденность, свойственную угловым пе ременным. Помимо этого, отказ от угловых переменных приво дит к проведению лишь алгебраических операций при интегри ровании.
Перейдем к предварительной оценке затрат машинного времени на интегрирование дифференциальных уравнений раз личных моделей. Ограничимся кратким рассмотрением трех ме тодов расчета возмущенного движения космического объекта: численное интегрирование системы дифференциальных уравне ний в прямоугольных системах координат, в оскулирующих эле ментах и в криволинейных координатных системах. Использо вание оскулирующих элементов в качестве переменных интегри рования на маловозмущенных участках движения ввиду медленного изменения оскулирующих элементов во времени дает возможность увеличить шаг интегрирования и, следовательно, сократить затраты машинного времени. При этом выигрыш во времени по сравнению с решением задачи в прямоугольных си стемах координат может доходить до трех раз и более. Однако правые части моделей движения в оскулирующих элементах, как правило, сложнее правых частей моделей движения в прямо угольных системах, что снижает указанный выигрыш во време ни. В этом случае помимо вычислений, требуемых для расчета правых частей уравнений в прямоугольных координатах (т операций), необходимо произвести вычисление на заданное время некоторых дополнительных величин (I операций). Обо значим через п\ количество шагов на данном участке движения при численном интегрировании дифференциальных уравнений в прямоугольных координатах, а через «2 — количество шагов при
41
интегрировании систем уравнений в оскулирующих элементах, дающих на рассматриваемом участке эквивалентную точность. Тогда примерное соотношение времен расчетов для указанных методов представляется формулой
(2.4.1)
Отсюда следует, что ускорение расчетов при интегрировании
моделей движения в оскулирующих элементах может быть по лучено при условии, когда
(2.4.2;
Если условие (2.4.2) выполняется, то средний выигрыш во времени расчета при интегрировании уравнений в оскулирую щих элементах растет с увеличением сложности расчета возму щающих сил и моментов. Для участков движения, подвержен ных сильным возмущениям, условие (2.4.2) обычно не выполняется и интегрирование уравнений в прямоугольных ко ординатах является более экономичным. Сравнительная оценка затрат машинного времени при численном интегрировании мо делей движения в прямоугольных и криволинейных координатах также может быть проведена на основании критерия (2.4.2). Эта оценка показывает, что при сохранении эквивалентной точности
интегрирование уравнений в цилиндрических координатах дает существенную выгоду.
При выборе исходной модели, помимо учета рассмотренных факторов, необходимо обращать внимание и на другие обстоя тельства, связанные с удобством проведения различных вычис лительных операций, необходимых для реализации алгоритмов.. Важное значение имеет также сравнительный анализ точности оценок параметров движения и возмущений, полученных при. использовании в алгоритме различных моделей. Этот анализ может быть проведен лишь после построения соответствующих
алгоритмов на этапе планирования выбора модели решаемой, задачи.
§2.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА
ИУСЛОВИЙ ПОЛЕТА В ВИДЕ, УДОБНОМ ДЛЯ АНАЛИЗА
При анализе движения космических объектов по экспери ментальным данным необходимо выбрать систему возмущений. К возмущениям, помимо отклонений начальных условий движе ния, относят отклонения характеристик объекта и условий поле та от номинальных или стандартных значений. Рассмотрим си стему возмущений для неуправляемого движения космического»
«объекта под действием гравитационных и аэродинамических сил
ямоментов. В этом случае к числу возмущений можно отнести:
—отклонения от номинальных значений постоянных, харак теризующих гравитационное поле Земли;
—отклонения от стандартных значений параметров, харак теризующих состояние атмосферы;
—отклонения от номинальных значений главных централь ных моментов инерции объекта;
—отклонения от расчетных значений аэродинамических ко эффициентов.
В общем случае перечисленные отклонения изменяются со временем. Некоторые из них зависят от параметров движения. Для удобства анализа движения указанные отклонения могут быть представлены степенными разложениями по времени или параметрам движения. Тогда к возмущениям относят уже не изменяющиеся отклонения, а постоянные коэффициенты упомя нутых разложений. При анализе движения объекта в плотных слоях атмосферы, в частности, на участке спуска с орбиты, счи тают, что коэффициенты аэродинамических сил и моментов за
висят в основном 1 от скорости полета объекта |
(или числа М) и |
угла между вектором скорости и продольной |
осью объекта а. |
Поэтому отклонения аэродинамических коэффициентов от при нятых при расчетах на ограниченных участках траектории рас сматривают как случайные функции числа М и угла а. Эти функ ции можно представить степенным разложением вида
|
т |
|
|
Д(М\ а )= 2 |
(2.5.1) |
|
i ,)=q |
|
где М *^ м° ~ м |
; |
|
м0 |
|
|
М0 — некоторое начальное значение числа М; |
|
|
l i j — постоянные |
величины, подлежащие определению в задаче |
|
анализа. |
|
значение любого |
С учетом определяемых поправок Л(М*, а) |
||
коэффициента аэродинамической силы можно |
записать в виде |
|
|
с = сн[1+дДМ *,о)], |
(2.5.2) |
.а составляющих аэродинамических моментов — формулой |
||
|
т = т н[1 + дт (М*,о)], |
(2.5.3) |
;где сш тн — расчетные (номинальные) значения коэффициентов.
1 Принимаемое здесь допущение справедливо для стационарного режима
•обтекания. В области трансзвуковых скоростей такое допущение может при вести к существенным неточностям.
43
Если в разложениях (2.5.2) и (2.5.3) ограничиться линейны ми членами, то получим
c = cH(l + |
X1,c + |
X2iCM, + * 3lCa); |
(2-5.4) |
т = тн( 1 -)—Хч, m -j- ^2, нгМ1*- -j—X.3imcx). |
(2.5.5) |
||
Например, для коэффициента сх лобового |
сопротивления |
||
имеем |
|
|
|
сх = сХя (1 + |
h , c x + |
К с хМ* + h ,сха). |
(2.5.6) |
Ввиду недостаточной изученности зависимости коэффициен тов аэродинамических моментов от параметров движения и ог раниченных по точности возможностей измерительных средств иногда в разложении (2.5.5) не учитывают члены, содержащие параметры движения, т. е. принимают
m = m^(\Ar h,m)- |
(2.5.7) |
Выражения, подобные (2.5.7), используют также для пред ставления отклонений всех других характеристик объекта и ус ловий полета, не зависящих от параметров движения. Например, для констант, характеризующих нормальное гравитационное поле Земли, считают
Л> = 1,'0н(1-Ь^1ч)? £ — £H(l~f^)- |
(2.5.8) |
Таким образом, в систему возмущений, подлежащих опреде лению при анализе движения, включаются постоянные коэффи циенты возмущений Xj(/=1, 2, ..., р), где р — общее число ко эффициентов.
§ 2.6. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ
Линеаризованные модели движения играют важную роль в задачах экспериментальной баллистики. Такие модели могут быть получены из нелинейных моделей на основе известного прин ципа малых отклонений. Принцип (метод) малых отклонений опирается на понятия опорного (невозмущенного) и возмущен ного движений. Опорным движением будем называть любое пол ностью определенное движение, относительно которого рассмат риваются близкие к нему возмущенные движения. Запишем модели опорного движения в общем виде. С этой целью совокуп ность изменяющихся во времени параметров движения xu(t) (&=1, 2, ..., п) представим «-мерным вектором1 параметров
1 Здесь и далее вектор и одностолбцовая матрица понимаются в одина ковом смысле.
44
движения (фазовых координат)
|
X i |
(О |
|
x(t) = |
x} {t) |
(2.6. 1) |
|
|
|
||
х п(/)
Введем также р-мерный вектор характеристик модели дви жения объекта
М *)= \• V) ) |
( 2. 6. 2) |
М О
компонентами которого являются характеристики объекта, ус ловий полета и управляющих воздействий. В общем случае ха рактеристики Яj(t) (/ = 1, 2, р) являются изменяющимися во времени величинами. В дальнейшем будем считать, что на рас сматриваемом интервале времени [О, Г] переменные характерис тики могут быть представлены линейной комбинацией известных функций времени и конечного числа постоянных величин. Поэто му вместо переменного вектора X(i) будем иметь дело с посто янным р-мерным вектором
Я=- Х.2 |
(2.6.3) |
При переходе от Я(t) к Я число компонент р может быть изменено и сами компоненты Я3- (/=1, 2, ..., р) могут приобрести иной смысл по сравнению со смыслом исходных характеристик kj(t) (/=1. 2, ..., р). С использованием векторов x ( t ) —x и Я мо дели опорного движения могут быть представлены следующей системой уравнений, записанной в нормальной форме:
|
|
■** = /*(•*» М ) (Л = 1,2 .........я), |
(2.6.4) |
|
где |
,Я; |
являются известными функциями времени f и век |
||
торов лги Я |
(здесь черточка над х |
и Я означает принадлежность |
||
векторов к опорному движению). |
Решение системы |
уравнений |
||
(2.6.4) |
при начальных условиях |
|
|
|
|
|
t= I!0; Xi = x 10l Х2=ЛГ20, . . . , х п= х л0 |
(2.6.5) |
|
определяет изменение параметров опорного движения
Х 1= х 1(*), x 2 = x 2{t), . . . , x n=x„{t)
45
во времени. Модели возмущенного движения представим систе мой уравнений
■** = /*(•*> М .) (А = 1, 2, . . л), |
(2.6.6) |
где*, X— векторы параметров движения и характеристик воз мущенного движения; X, t) — известные функции t , x и X.
Решение системы (2.6.6) при начальных условиях
t — t0, Х 1= * ю , X 2 = ^ 2 0 > • • • > Xn~=XnQ
определяет изменение параметров возмущенного движения
х 1= х : (/), = х 2 ((), . . . , x n = x „ ( t )
во времени. Параметры xh (А=1, 2, ..., п) возмущенного движе ния представляются формулами
х j — Xi -j- ДХ];
Х2 ~ Х2~\~ |
(2.6.7) |
х п = х п + &х а-
Соответственно характеристики Х3- (/= 1, 2, ..., р), отвечающие возмущенному движению, запишутся в виде
Х2 = Х2 + |
дХ2; |
(2.6.8) |
К — Хр + |
ДХр. |
|
Подставив соотношения (2.6.7) |
и (2.6.8) |
в уравнения (2.6.6) |
и предположив, что функции fk для всех моментов времени t мо гут быть разложены по формуле Тейлора в ряд по степеням от
клонений Axk (&= 1, |
2, ..., п) и AKj |
(/ = 1, |
2, ..., |
р), запишем сис |
|
тему (2.6.6.) в виде |
П |
_ |
_ |
|
|
|
|
|
|||
|
*а+ д* * = /* (* , х, о -f У — — |
|
д* и+ |
||
|
|
u=i* |
^ |
|
|
|
+ |
У |
^ ДХ, + * „ |
(2.6.9) |
|
где |
d f k ( x , \ , t ) |
d f k (x,7*,t) |
|
|
производные от |
------ ---------- и ---------------------частные |
|||||
дхр.
функций fk по параметрам х,,. и характеристикам Х2, отвечающие опорному движению; Rk — остаточный член разложения.
46