Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

и сравнивая (2.9.14) и (2.9.16), получим представление матрицанта Ф(А Aj,) в виде разложения в ряд Тейлора для случая

5 = 3:

Из формул (2.9.17) и (2.9.15) видно, что трудности рассмат­ риваемого представления матрицанта растут с увеличением чис­ ла членов ряда. Поэтому данное представление может быть ис­ пользовано для сравнительно небольших временных интервалов, что приводит к уменьшению числа членов в разложении. Если это сделать не удается, то можно использовать рассмотренный выше принцип разбиения интервала [A), t] на более мелкие и при­ менить разложение (2.9.17) для узловой точки Ар0. Нетрудно ус­ тановить, что применение принципа узловых точек для случая 5=1, т. е. для случая удержания в разложении (2.9.17) только членов с временем t в первой степени, сводит рассмотренный ме­ тод к представлению матрицанта в виде мультипликативного интеграла (см. § 2.8).

2.9.3. Численные методы

Численные методы основаны на численном интегрировании дифференциальных уравнений, составляющих модель движе­ ния, при специальным образом выбранных начальных условиях. Различают метод конечных разностей и метод вариаций. Метод конечных разностей предусматривает представление матрицан­ та в форме (2.7.31) и последующую замену его разностным ана­ логом. Задача вычисления конечных разностей сводится к много­ кратному решению задачи Коши для нелинейных моделей движения объекта. При этом могут использоваться методы дву­ сторонних и одностронних конечных разностей. В методе двусто­ ронних конечных разностей решение задачи Коши проводится 2п раз (и — число определяемых параметров) с начальными ус­ ловиями вида

ложительные приращения начальных условий.

60

По результатам решения задачи Коши элементы разностного аналога матрицанта определяются по формуле

дл: __х + — х ~

дх0 2Ах$

(2.9.20)

где х+, х~ — векторы параметров движения в текущей точке, соответствующие начальным условиям (2.9.18) и (2.9.19).

С целью уменьшения машинного времени, необходимого на

.2/1-кратное решение задачи Коши для моделей со слабыми нели­ нейностями, часто применяют метод односторонних конечных разностей. Этот метод сводится к «-кратному решению задачи Коши для нелинейной модели движения с начальными условия­ ми вида (2.9.18) и однократному решению той же задачи для на­ чальных условий опорной модели. В этом случае элементы раз­ ностного аналога матрицанта определяются по формуле

где х — вектор параметров движения в текущей точке для опор­ ной модели.

Метод конечных разностей подробно рассмотрен в работах £2, 69]. Рекомендации по оптимальному выбору ступенчатых воз­ мущений даны в работе [78]. Достоинство этого метода — в его универсальности и точности. Он удобно реализуется без сущест­ венного изменения программы численного интегрирования моде­ ли опорного движения. Метод легко распространяется на слу­ чай определения частных производных от параметров движения по возмущениям характеристик модели движения, что очень важно при решении задач анализа. К недостатку метода следует отнести существенные затраты машинного времени.

Стремление к сокращению машинного времени привело к широкому распространению другого численного метода опреде­ ления матрицанта — метода вариаций (23, 49]. Этот метод осно­ ван на «-кратном решении задачи Коши для линеаризованных моделей движения при единичной матрице Е„Хп начальных усло­ вий и однократном интегрировании уравнений нелинейной моде­ ли опорного движения при начальных условиях дсоМетод вариа­ ций хорошо приспосабливается для расчета частных производ­ ных от параметров движения по возмущениям характеристик объекта и условий полета и по сравнению с методом численного интегрирования приводит к существенной экономии машинного времени. Эта экономия еще более ощутима, если метод вариа­ ций применяется в сочетании с рассмотренными выше прибли­ женными аналитическими методами или с использованием поня­ тия мультипликативного интеграла. В заключение заметим, что различные сочетания рассмотренных выше методов могут слу­ жить основой выделения из всей совокупности методов расчета матрицанта четвертой группы — комбинированных методов.

61

§ 2.10. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ

2Л0Л. Детерминированные и стохастические модели

Одним из признаков, влияющих на выбор метода решения задач экспериментальной баллистики, является принадлежность используемой в задаче модели движения к двум классам — де­ терминированному или стохастическому. К классу детерминиро­ ванных моделей относятся те, для которых существует детерми­ нированная связь между параметрами движения объекта и временем t на рассматриваемом интервале [0, Т]. Так как нами в дальнейшем рассматриваются модели, имеющие единственное решение, то упомянутая связь предполагается однозначной. Для детерминированных моделей силы и моменты, действующие на объект, имеют только детерминированную составляющую. Это означает, что характер ее зависимости от параметров движения, условий полета и времени известен заранее. Детерминированная модель имеет вид

К классу стохастических моделей относят те, для которых связь между параметрами движения и временем t ( 0 ^ . t ^ . T ) известна лишь приближенно и может быть представлена некото­ рым распределением вероятности'. Для таких моделей предпо­ лагается, что все или некоторые компоненты вектора характерис­ тик, а следовательно, силы и моменты сил, действующие на объект, помимо детерминированной, содержат случайную состав­ ляющую. Эту составляющую будем представлять п-мерным вектором случайных возмущений

K i t )

так что стохастическая модель движения космического объекта примет вид

В моделях (2.10.1) и (2.10.3) f является известной п-мерной вектор-функцией связи вектора параметров движения и условий полета, определяемой динамическими свойствами объекта. По­ лезно отметить, что для детерминированных моделей задача оп­ ределения и анализа движения сводится к оценке по эксперимен-

1 Здесь имеется в виду существование такого распределения вероятности, конкретная запись которого удается не во многих случаях.

62

тальным данным начальных условий движения x(t0) = x 0 в момент to(0<^C.to^T) и постоянных компонент вектора характе­ ристик к. Для стохастических моделей задача определения и анализа существенно усложняется.

2.10.2.Дифференциальные и конечные аналитические модели

Другим признаком, влияющим на выбор метода решения за­ дач определения и анализа движения, является принадлежность модели движения к классу дифференциальных * или конечных аналитических моделей. К дифференциальным относят модели, включающие дифференциальные уравнения, не допускающие получения интегралов в конечном виде. Примером таких моде­ лей являются системы уравнений (2.10.3) и (2.10.1), которые с учетом нового признака классификации можно назвать соответ­ ственно стохастической дифференциальной и детерминированной дифференциальной моделями движения. Примером конечных аналитических моделей являются модели кеплерового движения и движения Эйлера — Пуансо. Среди конечных аналитических моделей принципиально могут быть стохастические и детермини­ рованные конечные аналитические модели. Детерминированная конечная аналитическая модель записывается в виде

= t), (2.10.4)

а стохастическая конечная аналитическая модель представляет­ ся уравнениями

В уравнениях (2.10.4) и (2.10.5) в число компонент вектора Я могут быть включены некоторые постоянные параметры — ха­ рактеристики движения, например кеплеровы элементы орбиты.

2.10.3. Нелинейные и линейные модели

Рассмотренные выше модели устанавливают нелинейную связь между x(t), X и '&(/). Это нелинейные модели движения. Использование таких моделей в экспериментальной баллистике хотя и возможно, но затруднительно. В то же время в ряде слу­ чаев целесообразно пойти на некоторые упрощения исходных нелинейных моделей и использовать вместо них линейные или линеаризованные модели. Стохастическая дифференциальная линейная модель, соответствующая модели (2.10.3), может быть

* Дифференциальные модели будем называть иногда динамическими.

63

представлена в виде

где <рА(1[Х, &(*), /]. d0*l*. &№> Л —ФУНКЦИИ> непрерывные в ин­ тервале изменения аргумента /[0, 7], причем d0k характеризует

действие возмущений и состояние космического объекта в на­ чальной точке и представляет собой свободные члены линейных по параметрам движения дсц (t) (р=1, 2, ..., п) дифференциаль­ ных уравнений. Модель (2.10.6) может быть представлена в мат­ ричном виде

где A (t) — квадратная матрица nXn\ D(t) — прямоугольная матрица пХр.

Из моделей (2.10.7) и (2.10.8) легко получить детерминиро­

Очевидно, можно представить стохастические и детермини­ рованные конечные аналитические линейные модели. Стохасти­ ческая конечная аналитическая линейная модель относительно X и нелинейная относительно 'О'(^) имеет вид

где G(ft, t) — прямоугольная матрица пХр.

Стохастическая конечная аналитическая модель, линейная относительно X и аддитивная относительно 0(/), записывается следующим образом:

где G(t) — прямоугольная матрица пХр.

64

Наконец, детерминированная конечная линейная модель представляется уравнениями

2.10.4. Определенные и неопределенные модели

Задачи определения и анализа движения могут решаться в условиях определенной (известной или заданной) и неопреде­ ленной (неизвестной) структуры модели движения. К опреде­ ленным можно отнести все рассмотренные выше модели при условии, если известны параметры распределения вероятности случайных возмущений О'(^). Такие модели соответствуют слу­ чаю нормального движения объекта, когда можно считать, что никаких существенных нарушений в расчетной схеме движения не произошло и возмущения, действующие на космический объект, не превышают допустимых пределов. Однако, помимо нормальных случаев движения, в реальных условиях могут,, иметь место аварийные ситуации. В аварийных ситуациях ре­ альное движение в сильной степени отличается от расчетного, что свидетельствует об отказе отдельных звеньев конструкции объекта, двигателя или системы управления или о выходе за допустимые пределы возмущений, действующих на объект. В этих случаях модель движения становится частично или пол­ ностью неопределенной и не может быть представлена ни одной из полученных выше моделей. Тогда чаще всего применяют представление компонент x(i) в виде каких-либо формальных разложений

где {фй(0}— произвольно выбираемая (известная) линейно не­ зависимая система функций; aj — постоянные коэффициенты.

Помимо формальных, применяют также факторные модели. Переход к формальным или факторным моделям используют также в случаях, когда заданная структура модели слишком сложна или когда нет необходимости привлекать определенную модель, представленную дифференциальными или конечными уравнениями. Эти случаи встречаются обычно при определении движения объекта на управляемых участках полета или при ре­ шении задач предварительной обработки результатов измерений с целью анализа ошибок или сглаживания результатов изме­ рений.

Изложенные выше признаки классификации, моделей движе­ ния космического объекта не являются полными, и сама клас­ сификация не может быть исчерпывающей. В самом деле, систе­ мы уравнений движения объекта могут содержать как конечные,