Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вычитая из уравнений (2.6.9) уравнения невозмущенного движения (2.6.4) и отбрасывая в соответствии с принципами метода малых отклонений остаточный член разложения, получим линеаризованную модель движения

д*

дх,.

А х ,

dfk (х, X,t)

A\j. (2.6.10)

д\.)

11=1

J - 1

 

Запишем для примера линеаризованную модель возмущенно­ го кеплерова движения, принимая в качестве возмущений грави­ тационное ускорение g*, обусловленное несферичностью Земли [см. уравнение (2.1.7)]. Модель опорного движения в данном случае в векторной форме представляется системой

v = —

 

;

r = v,

 

(2.6. 11)

 

 

 

Г3

 

 

 

 

а модель возмущенного движения имеет вид

 

 

® = - И о

Г6

+

r =

v ,

 

(2.6.12)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v — v-\- Av\

г —г-фдг.

 

(2.6.13)

Применяя к системе (2.6.12) метод малых отклонений, полу­

чим

 

 

 

 

 

 

 

Lv = 2 > ^ - r A r - ^ A r + g*\

Ar = AV.

(2.6.14)

Г4

 

Г3

 

 

 

 

 

В первом уравнении

полученной

системы

освободимся от

скалярного приращения Аг. Имеем

 

 

 

 

3{J-Q (ГАг) =

~~~ г {гАг)

/-3

ет(етАг),

 

Г4

г5

 

 

 

 

 

где ег——— единичный вектор.

 

 

 

 

г

получим

 

 

 

 

Тогда вместо (2.6.14)

 

 

 

 

дг>=-— [Зе,(егдг) — Дг] + g * ;

A r =

Av .

(2.6.15)

Г3

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем от векторной записи модели (2.6.15) к матричной.

Спроектируем левую и правую части уравнений

(2.6.15). на оси

основной экваториальной системы координат Ох\Х%хз. Предвари­

тельно векторам A v , A r ,

A v ,

Аг , g * и е г поставим в соответ­

ствие векторы-столбцы Дг»,

Aг ,

A v , Aг , g * , е г , элементами кото­

рых являются составляющие перечисленных векторов по осям ос­ новной экваториальной системы.

47

Имеем

Л®=-- - ^ ( 3 * ге,т + Я )Д г+ £*;

Г6

Дг = A V ,

(2.6.16)

где Е — единичная матрица третьего порядка; егт— транспорти­ рованный вектор-столбец ег.

Систему матричных уравнений (2.6.16) можно свести к одно­ му матричному уравнению

 

b x = A ( t ) k x - \ r d(t),

(2.6.17)

где

 

 

 

 

 

Ь х = .

Дг

;

Длг=

Д г

др

 

 

1

 

 

д-р

A{t) =

0

I

Е

 

о

 

 

0

т =

 

~ т ~ \

 

 

g

Г(/) — симметрическая

матрица

(3X3),

компонентами которой

являются производные гравитационного ускорения

Г (t)

Ро

З \ ’13

1

3Y13Y23

3Y13Y33

3\:23Yl3

3Y23 — 1

3Y23Y33 ’

/■з

 

 

I

ЗУззУ13

3Y33Y23

Зузз — 1

где yi3> Y23, узз — направляющие

косинусы вектора ег в основ­

 

ной экваториальной системе координат.

Аналогично могут быть

получены другие линеаризованные

модели движения.

 

 

 

 

 

§ 2.7. МАТРИЦАНТ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ

2.7.1. Понятие матрицанта и запись общего решения для однородных линеаризованных моделей

Любую линеаризованную модель движения (2.6.10) можно привести к одному матричному уравнению вида (2.6.17). Это уравнение образует систему линейных неоднородных дифферен­

циальных уравнений. Соответствующее ему однородное

урав­

нение имеет вид 1

г

х = A (t)x,*

(2.7.1)

' Переходим здесь от обозначений Дд: и А х к х и х-

 

48

где

х х

 

 

а п (t)

а п

(/).

■01»(<)

 

 

 

 

 

 

 

 

х х

Х 2

;

Я21(*)

а 22

(^)-

•«2я ( 0

(2.7.2)

X —

; х =

A ( t ) =

 

 

 

 

х „

 

0»i(O

0«a(*)-

•0»я(О.

 

Запись общего решения однородного уравнения (2.7.1) удоб­ но сделать с помощью матрицанта. Допустим, что n-раз проведе­ но решение задачи Коши для уравнений (2.7.1) при специально выбранных начальных условиях

1

0

0

0

1

0

^ 1} = 0

, X q — 0

?♦ * • ) X q — 0

0

0

1

и для каждого из столбцов начальных условий получено реше­ ние системы (2.7.1)

x[l) (t)

x?>V)

 

A l\ t)

x{2)(t)

(2.7.3)

* (1)(0 =

 

£ \ t )

AA(t)

х (пп) (О

Совокупность решений (2.7.3) составляет фундаментальную систему решений. Матрицант Ф(/, ^о) есть квадратная (п Х п ) матрица, составленная из фундаментальной системы решений

x[l)(t)

X ? \ t ) . . . .x[n) {t)

A l\t)

x 4 \ t ) .. . . x i n\ t )

Ф(/, *„)

(2.7.4)

xV it)

x A{ { t ) .. . X {nn ) (t)

или

Til Tia

T21 T22

Ф(С

T i 3 -

T 23 •

■Ты

•Т2л

(2.7.5)

fnl T„2 Т„з- •?»»

49

удовлетворяющая линейному однородному уравнению (2.7.1)

ф(*.

 

^

(2.7.6)

 

 

и начальным условиям при t = to

 

0 .

 

1

0

.0

0

1

0 .

.0

Ф 1^0» ^о)~ Епхп —

 

 

(2.7.7)

0

0

0 .

. 1

Если для системы (2.7.1) известен матрицант (2.7.4), то ее

общее решение записывается в виде

 

 

 

х = ф (*, h ) x Q-

 

(2.7.8)

В справедливости последней записи легко убедиться, посколь­ ку решение (2.7.8) справедливо для любого момента времени /„ в том числе для t = U. При t = U из (2.7.8) получаем

х 0 = Е х 0 = х 0.

(2.7.9)

2.7.2. Запись общего решения для неоднородных линеаризованных моделей

Предположим, что решение однородной модели известно и требуется записать решение неоднородной модели

х = А (t)x-j-d(f),

(2.7.10)

вкоторой d (/) — вектор-столбец возмущенш

йх(/)

d{t) =

d 2 (t)

(2.7.11)

d n ( t )

a A(t) — матрица частных производных правых частей) нелиней­ ных моделей движения по параметрам Xu (/г=1, 2, ..., п), опре­ деляемая в общем случае выражением (2.7.2). Будем искать ре­ шение неоднородной модели методом вариации произвольной постоянной в виде

л := Ф (/, t0)u,

(2.7.12)

где и — неизвестный столбец, зависящий от времени

«1

«2

(2.7.13)

иП

50

Смотрите также файлы