Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Естественно, при этом увеличивается ошибка определения матрицанта. Эту ошибку можно сделать допустимой в каждой конкрет­ ной задаче выбором соответствующего числа т интервалов раз­ биения основного интервала (Y0, /]. Понятие мультипликативного интеграла может быть применено также для определения при­ ближенного решения неоднородных линеаризованных уравнений вида (2.6.17).

§ 2.9. МЕТОДЫ РАСЧЕТА МАТРИЦАНТА

Из общей совокупности методов, применяемых для расчета матрицанта, можно выделить три основных группы:

—точные аналитические;

—приближенные аналитические;

—численные.

2.9.1. Точные аналитические методы

Точные аналитические методы основываются на возможности получения модели движения космического объекта в замкнутой форме. Такая возможность связана с принятием предположения о кеплеровом движении центра масс объекта и движении Эйле­ ра-— Пуансо относительно центра масс. Наиболее полно точные аналитические методы применительно к кеплеровому движению объекта рассмотрены в работе [67]. Этим же вопросам посвяще­ ны работы [18, 64, 72—74]. В указанных работах уделяется вни­ мание выбору наиболее приемлемой системы координат с целью получения более простого и удобного представления матрицанта. В качестве таких систем используются орбитальные или эквато­ риальные вращающиеся и невращающиеся прямоугольные сис­ темы, а также система цилиндрических координат. Существенное влияние на вид конечных зависимостей, используемых для рас­ чета матрицанта, оказывает выбор параметров, определяющих взаимное положение исходной и конечной точек на опорной тра­ ектории объекта. В качестве таковых применяются: время, ис­ тинная и эксцентрическая аномалии, разность времен или ука­ занных аномалий для конечной и исходной точек.

Выбор формы окончательного представления матрицанта необходимо связывать с решением конкретной задачи, и здесь вряд ли уместны какие-либо общие рекомендации. Для построе­ ния матрицанта с использованием точных аналитических методов можно использовать два пути. Первый из них основывается на соответствующих преобразованиях обычных моделей кеплерова движения или движения Эйлера — Пуансо, второй — использует линеаризованные модели указанных движений. Один из сущест­ венных недостатков точных аналитических методов связан преж­ де всего с погрешностями матрицанта, возникающими из-за от­ личия возмущенного движения космического объекта от опорного

56

кеплерового движения или движения Эйлера — Пуансо. Второй недостаток заключается в громоздкости формульных соотноше­ ний, используемых для вычисления матрицанта, а также в необ­ ходимости проведения довольно сложных предварительных вы­ числений, связанных с определением опорного движения и пере­ ходом от одной системы координат к другой. Все это создает некоторые трудности при использовании точных аналитических методов. Преимущество таких методов перед другими — возмож­ ность определения матрицанта по конечным зависимостям, что сводит расчеты к проведению элементарных операций и приво­ дит обычно к сокращению затрат машинного времени, потребно­ го для реализации алгоритмов. Точные аналитические методы находят применение в задачах, когда интервалы обработки изме­ рительной информации достаточно малы и когда можно прене­ бречь влиянием возмущающих факторов.

2.9.2. Приближенные аналитические методы

Приближенные аналитические методы базируются на разло­ жении в ряд Тейлора интегралов обычной [63] или линеаризован­ ной [52] модели движения космического объекта. Рассмотрим их суть на примере определения матрицанта для поступательного движения центра масс. Пусть на интервале [U, /] движение цент­ ра масс объекта описывается моделью (2.1.12)

Пусть искомый вектор х параметров движения удовлетворя­ ет модели (2.9.1) и соответствует вектору начальных условий ж0, заданных для момента времени t = t0:

Рассматривая правые части модели (2.9.1) как аналитические функции, разложим каждую компоненту Xk {k=\, 2, ..., 6) векто­ ра х интегралов системы (2.9.1) в ряд Тейлора:

(2.9.4)

где точками обозначены члены, содержащие время t в более вы­

57

сокой степени. Удерживая в разложении (2.9.4) члены, содержа­ щие время t в первой степени, запишем

менить для получения в разложении (2.9.4) члена, содержащего t , и последующего уточнения элементов матрицанта (2.9.6). По­ скольку разложение (2.9.4) при ограниченном числе членов яв­ ляется приближенным, то рассмотренный метод применяют для небольших интервалов [t0, t}. Если возникает необходимость в определении матрицанта для точек, значительно удаленных от начальной, то интервал (70, t] может быть разбит на ряд корот­ ких интервалов при помощи узловых точек г|?0. Тогда на каждом из коротких интервалов можно применить разложение (2.9.4) относительно узловой точки и получить для короткого интервала матрицант Ф(^, /ф0), где t — время, принадлежащее ф-му интер­ валу. В соответствии со вторым свойством матрицанта имеем

где Ф (^в, t) может быть рассчитан точным аналитическим ме­ тодом или численным, если нельзя пренебречь влиянием возму­ щении. Ьолее общим (в смысле полноты учитываемых возмуще­ нии) приближенным аналитическим методом по сравнению с рассмотренным выше является метод, основанный на разложе­ нии в ряд Тейлора вектор-функции x(t), удовлетворяющей одно­ родной линеаризованной модели (2.7.1), соответствующей неод­ нородной модели вида (2.6.17). Предполагается, что векторфункция x{t) является аналитической для всех точек t, принад-

58