Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

или

где G(r) — сила притяжения Земли.

Если ньютонометр является интегрирующим или дважды ин­ тегрирующим, то для таких приборов измеряемые функции име­

В заключение заметим, что уравнение (3.4.10) или эквива­ лентное ему уравнение (3.4.3) называют основным уравнением инерциальной навигации. Они используются как исходные при определении координат и скорости объекта по показаниям нью­ тонометров и гироскопических приборов.

§3.10. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ИЗМЕРЯЕМЫЕ ФУНКЦИИ

3.10.1.Общие зависимости, используемые для линеаризации измеряемых функций

Вобщем случае измеряемые функции нелинейно зависят от вектора оцениваемых параметров. Использование таких функций

взадачах экспериментальной баллистики затруднено. Поэтому с целью упрощения алгоритмов решения задач часто прибегают

клинеаризации измеряемых функций. Не нарушая общности, приведем здесь выводы, относящиеся к линеаризации измеряе­ мых функций первого рода. Пусть измеряемая функция

соответствует опорному движению, а функция

возмущенному движению космического объекта. Причем

где х, х — векторы параметров возмущенного и опорного дви­ жений, заданные в опорной системе координат.

103

Отклонение Ayi(t) I-й измеряемой функции относительно зна­ чения этой функции для опорного движения

по текущим параметрам Xk (&=1, 2, ..., п), вычисленные для опор­

где!;! (t ) — транспонированный векторпервых частных производ­

104

Ах — вектор отклонений параметров движения

Для каждого момента времени t вектор Ц (t) можно рас­ сматривать как градиент измеряемой функции в пространстве текущего вектора x(t). Этот вектор назовем текущим градиен­ том измеряемой функции в отличие от начального градиента

4»1(0> определяемого в пространстве начальных значений x(t0) вектора x(t). Распространим теперь полученный резуль­

прямоугольная матрица (т Х п ) частных производных измеряе­ мых функций по текущим параметрам движения. Матрицу 5 (t) назовем текущей градиентной матрицей. Полезно отметить одно из свойств матрицы Е (0 , состоящее в том, что для прямых (не­ посредственных) измерений

При решении задач определения движения космических объек­ тов, сводящихся к отысканию по экспериментальным данным на­ чальных условий движения x(tQ) = x 0, разложение измеряемой функции yi(t) —щ(х, t) в ряд Тейлора проводят около значения

щ(хо, t), соответствующего начальным условиям *о опорного

105

где ф/ (/)—'Транспонированный вектор первых частных произ­ водных l-й измеряемой функции по начальным условиям движе­ ния или начальный градиент измеряемой функции:

Хо,Хо — векторы начальных условий возмущенного и опорного движении.

Малые отклонения измеряемой вектор-функции имеют вид

ДУ(0=^(<)Д*о. (3.10.20)

где

прямоугольная матрица (т Х п ) частных производных измеряе­ мых функций по начальным условиям движения. Матрицу ф(1) назовем начальной градиентной матрицей. Начальная градиент­ ная матрица может быть представлена в виде произведения те­ кущей градиентной матрицы Н(^) и матрицанта Ф(^, to), вычис­ ленных для опорного движения, заданного начальными условия­ ми x{to) —Xq. В самом деле, поскольку

106

3.10.2. Пример определения текущей и начальной градиентных матриц измеряемой вектор-функции положения ya{t) = un(x, t)

Пусть из базисной точки / (см. рис. 3.6.3) измеряются на­ клонная дальность р(^) и три направляющих косинуса cosQj (/=1, 2, 3). Найдем для указанного состава измерений элементы текущей градиентной матрицы. Воспользуемся для этого резуль­ татом записи выражений для малых отклонений измеряемых функций. Из равенства (3.6.2) варьированием получаем

* Поскольку ( e p )2 = 1, то 2cp Дср= о.

107