Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

В общем случае нелинейной связи (4.1.1) разрешить эту за­ висимость относительно ошибки измерений не всегда возможно. Чаще принимают допущение об аддитивности ошибок. Счита­ ют также, что сингулярная и регулярная составляющие суммар­ ной ошибки связаны аддитивно:

на рис. 4.1.1.

Рис. 4.1.1. Составляющие суммарной ошибки измерений

§ 4.2. ВЛИЯНИЕ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИИ НА КОНЕЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

Одна из основных задач обработки измерений состоит в вы­ делении полезной информации о движении космического объекта по измеренным с ошибками значениям функций параметров дви­ жения. При этом влияние сингулярной и регулярной составляю­ щих суммарной ошибки на точность решения различно. Пусть, например, измеряется наклонная дальность до геосинхронного спутника Земли из подспутниковой точки, находящейся на эква­ торе. При невозмущенном движении такого спутника результаты каждого измерения в моменты времени ^ должны быть равны высоте орбиты спутника (Я = 35800 км). Если имеет место син­ гулярная ошибка в измерениях дальности, математическое ожи­ дание которой не равно нулю, то конечный результат (высота спутника) будет отличаться от истинного на величину этой ошиб­ ки. Накапливая достаточно большой объем выборки измерений N, мы не получим точного решения задачи даже в случае посто­ янной сингулярной ошибки. Поэтому если от сингулярной ошиб­ ки не удается избавиться на этапе предварительной обработки результатов измерений или непосредственно в процессе решения задачи, то она будет вносить в решение неизвестное системати­ ческое смещение оценок, которое не теряет своего значения с уве­ личением объема выборки N.

118

Регулярная ошибка в каждом сеансе измерений имеет нуле­ вое математическое ожидание М[%;(^)]= 0. Поэтому такая ошиб­ ка может явиться причиной только случайного отклонения реше­ ния от истинного. Величина этого случайного отклонения может быть уменьшена за счет увеличения объема выборки N. Наличие в результатах измерений грубых ошибок существенно искажает результат. Грубые ошибки учитывать заранее невозможно. С ни­ ми приходится бороться в процессе проведения измерений. Если же этого сделать не удается, то при известном общем характере распределения сингулярной и регулярной ошибок путем приме­ нения специальных критериев грубые ошибки исключают на эта­ пе предварительной обработки результатов. Для ликвидации или уменьшения систематического смещения оценок за счет син­ гулярной ошибки целесообразно исключить эту ошибку из ре­ зультатов измерений. Выше было сказано, что сингулярная ошибка в конкретном сеансе наблюдения проявляется вполне определенно. Поэтому ее можно оценить по данным измерений на любом временном интервале ее существования, принадлежа­ щем интервалу измерений [0, Т]. Чтобы найти сингулярную ошибку (или убедиться в ее отсутствии), обычно используют ре­ зультаты определения измеряемых функций по данным «эталон­ ных» (на порядок более точных по отношению к анализируемо­ му средству) измерительных средств. Так, например, при опре­ делении сингулярных ошибок измерений угловых координат радиолокационными станциями можно воспользоваться данными оптических измерительных средств — кинотеодолитов. Эталонные значения измеряемых функций можно получить также на основе статистической обработки результатов измерений всех измери­ тельных средств, привлекаемых для слежения за движением кос­ мического объекта на интервале [0, Т]. В этом случае можно на­ деяться, что такая обработка существенно уменьшает влияние сингулярных ошибок каждого отдельного средства. Для нахож­ дения частной реализации сингулярной ошибки можно восполь­ зоваться представлением этой ошибки линейной комбинацией

ортогональных полиномов Чебышева

где фk(t) — известные координатные функции; уik — неизвестные случайные величины..

119

Здесь уместно отметить, что для регулярной ошибки %i(t) ко­ нечного разложения (г<оо) вида (4.2.1) или (4.2.2) может и не существовать. В случае представления hi(t) разложением (4.2.1) или (4.2.2) параметры сингулярной ошибки (в первом случае ко­ эффициенты Cik, во втором — случайные величины yth) могут быть найдены на этапе предварительной обработки измерений. Тогда исключение сингулярной ошибки из результатов измере­ ний даст величину

(4.2.3)

свободную (частично или полностью) от такой ошибки. Можно также, используя разложения (4.2.1) и (4.2.2), находить пара­ метры разложения сш или у» в процессе решения задачи опре­ деления и анализа движения. Тогда упомянутые параметры включаются в число оцениваемых наряду с параметрами движе­ ния или характеристиками *. Очевидно, что использование разложений (4.2.1), (4.2.2) или других возможно тогда, когда имеется информация, дающая возможность применить указан­ ные разложения. В дальнейшем будем считать, что измерения, содержащие грубые ошибки, исключены из полученной выборки.

§4.3. ИНФОРМАЦИЯ ОБ УСЛОВИЯХ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Под информацией об условиях проведения измерений пони­ мается следующая совокупность сведений:

—способы комбинации ошибок измерений с измеряемыми функциями;

—статистические свойства ошибок измерений.

Эта информация может быть полной, неполной или вообще отсутствовать. Под полной информацией понимают такую, ко­ торая содержит исчерпывающие данные об ошибках измерений. Неполная информация свидетельствует об отсутствии некоторых данных об ошибках. Например, может быть известен способ ком­ бинации ошибок с измеряемыми функциями, но неизвестны ста­ тистические свойства этих ошибок. Или известно, что ошибки измерений коррелированы, но неизвестны характеристики этой корреляции. Отсутствие информации свидетельствует о том, что в результате эксперимента получены лишь измеренные значения функций параметров движения и никаких сведений об ошибках измерений нет.

Возможны нестатистические и статистические способы опи­ сания ошибок измерений. Нестатистические способы применяют­ ся тогда, когда об ошибках измерений имеются весьма ограни-

* Помимо рассмотренного, существуют и другие пути разработки схем измерений и использования статистических методов, инвариантных по отноше­ нию к сингулярной ошибке.

120

ченные сведения. Здесь могут иметь место два случая. Первый из них характеризуется структурной неопределенностью ошибок. В этом случае может быть задана норма ошибки, определяемая как верхняя грань множества абсолютных значений ошибки на интервале измерений [О, Т]

Второй случай характеризуется структурной определен­ ностью ошибки. В этом случае ошибка может быть представле­ на разложением вида (4.2.1) или (4.2.2). В последнем разложе­ нии yih следует считать теперь неизвестными постоянными коэф­ фициентами разложения.

Статистические способы описания ошибок применяются при достаточно высоком уровне знаний структуры ошибок и законо­ мерностей их изменения на интервале наблюдения [О, Т]. Сово­ купность ошибок hi(t) (1=1, 2, ..., m) для данного состава изме­ рений может быть представлена вектором ошибок измерений

М*)

hm{t)

Первый из статистических способов описания ошибок заклю­ чается в разложении вектора (t) на математическое ожидание

M[h (^)] и центрированный случайный вектор h (t) и в описании

о

последнего функционалом плотности вероятностей p[h(t)] (при произвольном законе распределения ошибок, т. е. законе, от­ личном от нормального) или матрицей корреляционных функций B°h (^ь h) (при нормальном законе). В приведенной записи кор­

реляционных функций ti и t2— моменты времени, для которых определяется корреляционная связь. Рассматриваемый способ описания ошибок можно представить в следующем виде:

°h(t)—>• B°h(t, ^( — нормальный закон распределения ошибок. По определению

Диагональными элементами b(t\, t2)u матрицы корреляцион­ ных функций В \ (t1} t2) являются автокорреляционные функции,

121

рений, нестационарен, то матрица корреляционных функций за­ висит от t\ и i2. Для стационарного случайного процесса имеет место только зависимость матрицы корреляционных функций от

временного сдвига x ~ t 2—1\ между рассматриваемыми точка­ ми, т. е.

характеризует корреляционную связь ошибок измерений с уче­ том математического ожидания M\h(t)}, то она обычно назы­ вается матрицей ковариационных функций.

Второй статистический способ описания ошибок состоит в представлении h (t) каноническим разложением. Для этого вна­

чале h(t) представляют суммой (4.3.3), а затем h (t) разлагают на координатные неслучайные функции со случайными некорре­ лированными коэффициентами

где hk(t) векторы, состоящие из некоторых координатных не­ случайных функций; у& случайные не коррелированные меж­ ду собой коэффициенты с заданными дисперсиями o2h, т. е.

Указанные способы представления h (t) используются в тео­ рии случайных функций. Первый из них, распространенный на случай дискретных измерений, применительно к представлению суммарной ошибки в виде (4.1.9) находит применение и в экс­ периментальной космической баллистике. В случае представле­ ния суммарной ошибки измерений разложением (4.1.9) исчерпы­ вающей характеристикой этой ошибки для непрерывного време­ ни наблюдения является функционал плотности вероятностей p[h(t)], а для дискретного времени наблюдения — функция плот-

ности вероятностей р[А (Ь), h (t2), ..., h(tN)]. Здесь A(f,), h{t2),...

...,и (fjv) нужно понимать в векторном смысле, как совокупность ошибок измерений, полученных в момент времени U (/=1, 2,

•••> N) для заданного состава измерений, т. е.

122