Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Построение упомянутых зависимостей для произвольного за­ кона распределения коррелированных ошибок измерений сопря­ жено с большими трудностями. Для этого необходимо привле­ кать теорию распределений и многомерный статистический анализ. В случае некоррелированных измерений эта задача не­ сколько упрощается, поскольку справедливо соотношение

т

где П — знак произведения.

В подавляющем большинстве случаев ошибки измерений име­ ют нормальное или достаточно близкое к нему распределение. Поэтому при обработке результатов измерений гипотеза о нор­ мальном распределении ошибок принимается в качестве основ­ ной. Это оправдано тем, что источниками ошибок являются мно­ гочисленные случайные факторы, которые, действуя в совокупно­ сти, приводят к упомянутому распределению. Функционал плот­ ности вероятностей в случае нормального распределения ошибок непрерывных измерений определяется функцией математическо­

а вместо матрицы корреляционных функций вводится корреля­ ционная матрица, которая для совокупности всех М измерений имеет вид

123

нимающие место на главной диагонали, являются дисперсиями ошибок измерений

6V, —D v.

Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали, т. е. by — b^, и поэтому часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь ее половина:

bмм

Для симметричной матрицы справедливо равенство

Кроме того, свойство симметричности дает возможность за­ писать

Заметим также, что корреляционная матрица является поло­ жительно определенной. Для попарно некоррелированных оши­ бок измерений корреляционная матрица является диагональной:

Для удобства построения алгоритмов обработки результатов некоррелированных измерений вместо корреляционной исполь­ зуют весовую матрицу Р, связанную с корреляционной соотно­ шением

что означает, что произведение обратной весовой матрицы и не­ которого коэффициента сто2 дает корреляционную матрицу некор­ релированных измерений. Из (4.3.18) следует

°v

Персия эталонного измерения или дисперсия единицы веса. Веса измерений обратно пропорциональны дисперсиям оши­

бок измерений. Они могут быть известны с точностью до посто­ янного множителя сто2, который сам оценивается по данным из­ мерений наряду с компонентами вектора q. Дисперсия эталон­ ного измерения используется как характеристика точности решения задачи. Если, например, по данным измерений найдена кривая, характеризующая движение космического объекта на

получаем так называемую взвешенную остаточную сумму квад­ ратов. Деля эту сумму на М—п (где п — число оцениваемых параметров кривой), получаем дисперсию эталонного измерения

Плотность вероятностей многомерного нормального распре­ деления коррелированных дискретных измерений записывается в виде

ратная корреляционная матрица;Л— совокупный вектор ошибок измерений, элементами которого являются разности измеренных значений измеряемых функций и их математических ожиданий

h т— транспонированный вектор с теми же элементами.

Для попарно некоррелированных измерений переход от выра­ жения (4.3.22) к новой'записи плотности вероятностей заключа­ ется в использовании соотношений (4.3.18). Тогда получим плот­ ность вероятностей многомерного нормального распределения дискретных измерений в виде

) 125

Заметим, что если сингулярная ошибка представлена разло­ жениями (4.2.1) или (4.2.2), определена и исключена при пред­ варительной обработке измерений, то приведенные выше зависи­ мости характеризуют распределение измерений, содержащих регулярную ошибку.

§4.4. ИНФОРМАЦИЯ ОБ ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРАХ

Вряде задач может быть задана предварительная информа­ ция об оцениваемых параметрах. Такая информация включает совокупность сведений об оцениваемых параметрах, полученных по данным расчетов, стендовых, заводских, лабораторных или

летных испытаний, предшествующих данному летному экспери­ менту.’ Предварительную информацию об оцениваемых парамет­ рах обычно называют априорной. Иногда априорную информа­ цию необходимо учитывать наряду с информацией, полученной в данном летном эксперименте. Это может привести к получению более оптимальных оценок, к увеличению интервала времени между последовательными контролями движения космического объекта, к более целесообразному использованию предыдущих определений движения, к увеличению длительности прогноза движения при сохранении той же точности. Как и для ошибок измерений, исчерпывающие данные об оцениваемых парамет­ рах q могут быть заданы в общем случае априорной плотностью вероятностей p(q). Необходимо заметить, что оцениваемые па­ раметры всегда дискретны. Кроме того, задание априорной ин­ формации о параметрах q в виде плотности вероятностей пред­ полагает, что они являются случайными величинами. Поскольку совокупный вектор оцениваемых параметров

126

относительно главной диагонали, что означает

{в - у = в ~ \

Сучетом введенных обозначений для нормального закона распределения коррелированных оцениваемых параметров мно­ гомерная априорная плотность вероятностей по аналогии с (4.3.22) записывается в виде

Здесь дисперсия эталонного измерения введена в выражение для весов pqj с целью получения аналогии в записи весовых матриц Р и Pq, что приводит к аналогичной по сравнению с (4.3.23) записи плотности вероятностей априорного распределе­ ния для некоррелированных параметров

где | Рq| — определитель весовой матрицы.

Априорная информация может иметь как статистический, так и нестатистический характер. В последнем случае она может быть задана в виде системы равенств и неравенств.

127