Матрицы, входящие в правую часть выражения (10.1.3), с учетом сделанного разбиения распадаются на слагаемые вида
C = Cft + CI= W jxrPft4rftxr + 4rlxrP ^ lxr. '
Запишем формулу (10.1.3) с учетом разбиения, выделяя член, зависящий от выборки Zk-
q^C -'CbCj'WlxrPbZb + C -'W lxrPf^
Обозначим |
|
QN—l~ C k |
^kXrPkZln |
после чего выражение для q N запишется в виде |
Qn ~ C |
^IXrPl^l- |
Добавив в правую часть полученного выражения нулевое
слагаемое |
|
С CqN_ l — C CQn - i |
|
и объединив подобные члены, получим |
|
'kN^ ' k N^ \ C ~ X^\xTPl {.zl- ^ i ^ rqN_ l). |
(10.1.4) |
Если вторая группа измерений содержит только одно’Л^-е из
мерение, то формула (10.1.4) запишется в виде. |
|
4n ~ Qn- x |
§\xtPn {zn 'Ь хг^дг^)- |
(10.1.5) |
Следует заметить, что существуют другие способы получения рекуррентных соотношений и другие формы записи этих соотно шений, которые отличаются друг от друга формой матричного
выражения C~~lW]xrPl в формуле |
(10.1.4). Обобщенной фор |
мой записи рекуррентных алгоритмов является |
|
</лг= Qn—i + F yz i~ |
ЧгхтЧн^)- |
( Ю. 1.6) |
где матрица F включает в себя информационное количество Фи шера в той или иной форме.
Так как все наши преобразования носили тождественный ха рактер, то сами оценки и их точностные характеристики без уче та специфики вычислительных погрешностей по формулам
(10.1.3) и (10.1.4) будут совпадать.
Легко заметить, что оценка метода максимального правдопо добия
q = C~\PBi;xz
уже не может быть записана в рекуррентном виде по той причи не, что матрица Bh не является диагональной. Статистическая зависимость измерений не дает возможности разделить выборку на две независимые подвыборки. Если корреляционная матрица ошибок измерений Bh является квазидиагональной, т. е. имеет отличные от нуля элементы только в непосредственной близости от диагонали, то может быть получена последовательная форма оценки путем вложения одной рекуррентной процедуры в другую.
§ 10.2. РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ КАЧМАЖА
Рассмотрим алгоритм обработки измерительной информации, разработанный В. М. Чадеевым [51] на основе одного из спосо бов решения линейных уравнений (способе Качмажа).
Пусть имеется одномерный объект типа усилительного звена
x(t)=ty{t)q,
выходной сигнал которого измеряется в дискретные моменты времени
Zi = x i+ hi
с ошибками h*i<^N(0, o0/Vpi)- Пусть после проведения N — 1 измерений получена оценка qN_ x параметра <7,-тогдалпо резуль татам N-го измерения оценку параметра предлагается уточнять по формуле
где ц — некоторый положительный параметр.
Покажем, что оценка, уточняемая по формуле (10.2.1), схо дится к истинному значению параметра q в том смысле, что квад- \ рат ошибки параметра в результате проведения дополнительных измерений мож,ет только уменьшаться.
Допустим сначала, |
что q = const, и ошибки измерений отсут |
ствуют, т. е. Pn = 1, ^ nPn — Zn- Обозначим |
ошибку |
определения |
параметра в (N—1)-м опыте через |
|
|
|
|
Ь-ЯN_ x = q — Я |
|
|
|
а в N-м опыте через |
|
|
|
|
|
|
Д?дг— Я |
ЯN' |
|
|
|
Тогда, вычтя из обеих |
частей равенства |
(10.2.1) |
величину Я, |
получим |
|
|
|
|
•* |
Д ^ = - Д яа |
1 |
|
|
|
|
N - |
Р + Фдг |
|
|
|
|
|
В о звед ем в к в а д р а т обе части последнего уравнен ия
ДЯы= M%-\ — 2 Флг^ лг- 1 )&д?ЛГ-1 4 + ^ ) 2 '
Обозначим aN— LqM~\~ Мы, тогда очевидно, что для вы
полнения сходимости оценок qN Kq в указанном смысле при при нятых допущениях необходимо, чтобы ajv>0, т. е. должно вы полняться условие
-■^ --% ! - ( 2^ + ФдО > 0- |
(Ю.2.2) |
0* + ^ ) 2 |
|
Условие (10.2.2) выполняется всегда, если параметр р — по ложительный. Пусть теперь имеют место ошибки измерений
zn — $n Q-j-hff-
Получим условие сходимости для этого случая. Как и ранее, вычтя из левой и правой частей равенства (10.2.1) величину q, получим
Л |
Л |
РлгФлг |
л. |
|
Д<7лг= |
’ N—1”1 ^ |
^2 ( |
ff^N4 flN)- |
Возведя в квадрат обе |
части |
этого |
равенства |
-и обозначив |
aN= Мы- i — Мы, |
получим |
|
|
|
|
( A4 v - l ' b v + |
1л л г ) . |
{МыМт'Ы + |
Ь-ы)2 2 . 2 |
*ы~ ■2мы- 1 |
И+ 4дг |
- Р ^ ы --------— ; |
----- Р^ы- |
|
|
|
(н + +лг) |
|
Для выполнения условий сходимости в указанном выше смыс ле необходимо,чтобы
2Д<7дг-1 ( М ы- № 4 h-ы) Ри '1ы^> |
( Чу. - 4 лг+ к ы ) 2 2 , 2 |
(10.2.3) |
Р ы -ы- |
(н +
Для обеспечения сходимости в среднем условие (10.2.3) пре образуем с помощью операций математического ожидания к виду
|
2Мы-$ы |
Мы-ЛыРы + °о |
$ы- |
(10.2.4) |
|
(* + &)* |
|
|
|
|
|
Условия (10.2.3) и (10.2.4) выполняются |
только при опреде |
|
ленных соотношениях между величиной входного |
сигнала ty(t) |
|
и ошибками измерений выходного сигнала. |
|
|
|
Если предположить теперь, что qф const, то можно найти ус |
|
ловие сходимости для нестационарного параметра. |
В этом слу |
чае при точных измерениях и медленном изменении параметра q сходимость алгоритма обеспечивается лишь с точностью до bqx, где б<7л- — величина изменения параметра q в N-й момент измерения.
При реализации алгоритма (10.2.1) начальное значение па
раметра qo может быть выбрано совершенно произвольно, а по ложительный параметр р целесообразно выбирать из условия мак симального значения величины aw. Для этого необходимо при равнять нулю производную от выражения (10.2.2) по параметру р, считая его переменным, и из полученного таким образом соот ношения найти роит-
В случае измерений с ошибками параметр р необходимо вы бирать тем больше, чем больше ошибки измерений.
Алгоритм Чадеева не обеспечивает оптимальные свойства оценок, .его оценки лишь состоятельны. При постоянном парамет ре q и наличии сведений об ошибках измерений алгоритм не име ет преимуществ перед рекуррентным алгоритмом метода наи меньших квадратов. Его достоинство в том, что он может быть использован для получения оценок текущих значений нестацио нарных параметров.
Рассмотрим многопараметрический объект, описываемый уравнением
Г
■*(*)=2 ЪЮЯг /'=1
Уточнить оценки параметров предлагается в этом случае по формулам
( j = 1,. • г)•
(10.2.5)
Как и в одномерном случае, можно показать, что параметры
qjtN в случае их постоянства сходятся к истинным значениям qj в том смысле, что сумма квадратов ошибок всех параметров
Г |
' |
^ [q] — <7. д,)2 в результате |
дополнительных измерении может |
7 = 1
только уменьшаться.
Действительно, соотношение между ошибкой /-го параметра, полученного по (N—1) измерению и по А измерениям, получает ся в результате вычитания значения qj из обеих частей равенст ва (10.2.5):
/' |
т |
|
|
^ ] , N - \ ^ j , N + h N I |
|
^ j . N ~ ~ ^ j , I V - l “b ~ |
" |
P n 4 ], N O ' — 1> • • •, 0 - |
V-+ 2j
7= 1
Возведя в квадрат обе части этого равенства и просуммиро вав по индексу /, получим
-2 |
|
/ V |
|
|
AT— X Ф / , + hNj |
V I -2 |
|
|
X |
►Д(?у,дг= Л |
Д^/,ЛГ-1- |
|
|
7=1 |
7 = i |
|
|
^ |
^/,jV |
|
|
|
г |
\ |
7=1 |
|
|
|
|
X |
|
2р + ( 2 - р „ ) ^ Ф, /2 .лг |
- ^ А лг^ Ф у.лг .(10.2.6) |
L 7=1 |
V |
7 |
= 1 |
I |
1=1 . |
Для выполнения сформулированного выше условия сходимо сти алгоритма необходимо, чтобы ■
ТГ
aN= 2 |
1— 2 |
> °- |
7 = i |
/= 1 |
|
Так как величина адслучайная,.то наложим требование
. тИ [ojv] > 0.
Применив операцию математического ожидания к формуле (10.2.6), после некоторых преобразований получим следующее условие сходимости оценок стационарных параметров:
2 ^ ) , N - \ ^ ] , N |
. 2 |
2 VT' |
|2 |
(10.2.7) |
— p N ) ^ Фалс |
2^ |
Х,Л’- |
v7=t |
7=1 |
7=1 |
|
|
Рассмотрим условие сходимости алгоритма для случая неста ционарных параметров, меняющихся в соответствии с формулой
9/-,дг= 9;-1дг_1+ ^9,у>ЛГ- |
(10.2.8) |
Предположим, что ошибки измерений отсутствуют. Положим в формуле (10.2.5) ц —0 и рjv= 1. Вычитая из обеих частей урав нения значение ^3-,я, получим
qJ,N qi,TV" 1j,N~ |
■j,N |
|
|
N |
|
'j ,N q j , N 2 ^ 7 , N q i , N - l |
|
V <|;2 |
\/= l |
7=1 |
|
' 7 , 7 V |
|
|
|
7=1 |
|
|
