Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

С учетом соотношения (10.2.8)' последнее уравнение преобра­ зуем к виду

j,N— A<7/,JV-1 —8?;,ЛГ +

Возведя в квадрат левую и правую части последнего соотно­ шения, просуммируем его по индексу /. После некоторых преоб­ разований получим

Поскольку для сходимости алгоритма необходимо, чтобы

в том случае, когда ошибки измерений и степень нестационарности параметров определенным образом малы.

Данный алгоритм может быть использован для обработки коррелированных измерений, поскольку зависимость между из­ мерениями может быть проинтерпретирована как дополнитель­ ная нестационарность оцениваемых параметров. Состоятель­ ность оценок будет обеспечиваться при определенном выборе па­ раметра р.

Из сравнения алгоритмов, рассмотренных в § 10.1 и 10.2, можно заметить, что более оптимальным критериям оценивания

соответствуют менее общие алгоритмы. В следующем параграфе рассматривается наиболее общая форма рекуррентных алгорит­ мов.

§ 10.3. РЕКУРРЕНТНАЯ ПРОЦЕДУРА КИФЕРА — ВОЛЬФОВИЦА

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, имеют много общего. А именно, несмотря на различные свойства алго­ ритмов (10.1.5) и (10.2.5), они имеют общую форму. Например, оценка коэффициента усиления в одномерной задаче как в ре­ куррентном алгоритме метода наименьших квадратов, так и в рекуррентном алгоритме Чадеева уточняется по следующей зави­ симости:

Qn — Qn _ x- ' ^ n Qn - i ). ( 1 0 . 3 . 1 ) -

где коэффициент \ N равен pN''N 2 Р(1/ в (10.1.2) и рМ р +-

i =i

+<& в ( ю -2 л )-

Впрактике могут встретиться случаи, когда в распоряжении экспериментатора нет достаточной информации об условиях опы­

та, по которой могут быть найдены оптимальные значения коэф­ фициентов удг в том или ином методе. В то же время желательно найти оценки параметров. Выходом из такого положенияможет быть использование стохастической аппроксимации. Слово «ап­ проксимация» указывает здесь на приближенный характер ре­ шения, а термин «стохастическая» означает, что задача решается в условиях случайных помех.

Процедура стохастической аппроксимации была предложена Г. Роббинсом и С. Монро в 1951 г. для отыскания корня уравне­ ния регрессии в условиях помех. Спустя год после этого появи­ лась статья Кифера и Вольфовица, где идея стохастической аппроксимации была использована для поиска экстремума уни­ модальной функции одной переменной. Так как задача оценки параметров аналогична экстремальной задаче, рассмотрим в этом параграфе процедуру Кифера и Вольфовица.

Рекуррентная процедура стохастической аппроксимации применительно к оценке параметра q усилительного звена

x ( t ) = ' Ht ) q

записывается в виде (10.3.1), где улт — некоторая последователь­ ность положительных чисел.

При некоторых условиях, накладываемых на последователь­

ность чисел yjv, алгоритм (10.3.1) является сходящимся в сред­ нем

lim A f[(^ v - 9)2]= o,

N^oo

280

и с вероятностью единица

p{Y\mq =q) = \.

Упомянутые условия сходимости метода стохастической ап­ проксимации записываются следующим образом:

jY= 1

писать неравенство

N

qN < q o JT m ^

Лг = 1

из которого следует, что

N ->■оо

Если на самом деле действительное значение

q > q 0 + md,

то оценка qдг при несоблюдении условия (10.3.2) оказывается несостоятельной, смещенной.

Условие (10.3.3) дает возможность скомпенсировать влияние отдельных ошибок измерений. Действительно, пусть

где h — ошибка измерения с максимально возможной дисперси­ ей от2. Тогда, для того чтобы ряд корректирующих поправок был сходящимся, необходимо, чтобы дисперсия суммы поправок бы­ ла ограниченной:

281

Отсюда следует условие (10.3.3). Условиям (10.3.2) и (10.3.3) удовлетворяет, в частности, гармоническая последовательность чисел с общим членом Г/Л/'.

Помимо условий (10.3.2) и (10.3.3), необходимо, чтобы ошиб­ ки измерений были несмещенными и имели ограниченные диспер­ сии. В этом случае метод стохастической аппроксимации обеспе­ чивает получение состоятельных оценок.

Рассмотрим многомерный вариант метода стохастической ап­ проксимации. Пусть имеется многопараметрическая конечная аналитическая линейная модель

Об ошибках измерения функции x(t)

Z i = x i Jr h i (г= 1,. .., N)

Известно, что они являются несмещенными и имеют ограничен­ ные дисперсии. Тогда алгоритм последовательного оценивания вектора параметров q в модели (10.3.4) запишется в виде

Из выражений (10.3.6) и (10.3.7) следует, что метод стоха­

стической аппроксимации может быть применен для нелинейных моделей.

Пусть оптимальное решение нелинейной задачи характеризу­ ется критерием a (q, z). Тогда оценка вектора параметров <7 для данной последовательности реализаций измерений Z\, ..., Z\, ...

записывается в виде

если функция a (q, z) является дифференцируемой по q , или в виде

282