Ev
Я f f Я n —i ~b 2 c iV 1(?W—i’ ^tv’ ^v) ®—(^Ov_р -СЛГ, ^v)]i (10.3.9)
если функция (10.3.6) недифференцируема.
Формула (10.3.9) представляет собой многомерный вариант процедуры Кифера — Вольфовица. Здесь градиент определяется
приближенно по формуле |
|
|
|
|
|
|
zN)-. |
u+ (QN—1> CN’ ZN> ' |
( Q n - |
1> VN' |
ZN*N-> |
|
|
|
2cN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в которой |
|
|
|
|
|
|
|
a_ { я N—V CN' ZN ) |
la( я N —\i i ^л/b |
z n ) ■■ |
{ я N —V |
^(/у)}Т |
а через lj (/=1, ..., г) обозначены базисные векторы |
|
|
A = (l, 0 ,..., |
0 ),..., /г= (0, 0 ,..., |
1). |
|
Если |
функция |
a(q, г) |
является |
выпуклой, |
то |
алгоритмы |
(10.3.8) |
и (10.3.9) |
обеспечивают получение состоятельных оце |
нок при условиях |
(10.3.2), |
(10.3.3), |
начиная с любого нулевого |
приближения #0.
Для реализации рекуррентной процедуры стохастической ап проксимации не требуется знание статистических характеристик об ошибках измерений. Отмеченные выше сведения о несмещен ности ошибок и ограниченности их дисперсий необходимы для того, чтобы быть уверенным в сходимости алгоритма. Последо вательность коэффициентов yN, обеспечивающая быструю схо димость, должна выбираться в соответствии с характером по верхности а(<7, г).
Метод стохастической аппроксимации эффективно использу ется для восстановления характеристик линейных систем управ ления [14], а также в задачах сглаживания и прогнозирования элементов орбит космических объектов [6]. Очевидно, метод мо жет быть использован для оценивания нестационарных парамет ров, если на последовательность коэффициентов ум наложить дополнительные требования, учитывающие нестационарность оцениваемых величин.
§ 10.4. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ФИЛЬТРА КАЛМАНА
При рассмотрении задачи оценки параметров движения ли нейной динамической стохастической модели в гл. VI записаны уравнения для оценок (6.4.12):
* 0= £ о ф^ о + "^ о ; |
|
*/+ i= ® iX i+p-)4i'(jSi; |
(10.4.1) |
s t- = Ф /4 -1 5 г+1 4~ P i + \ Z i + \ i z i +1 ~ 5 1 + i^ H - i) ; |
|
5 ^ = 0 ,
представляющие собой двухточечную граничную задачу. Построим последовательную процедуру для их решения. По
ложим вначале N = 1. Тогда уравнения (10.4.1) запишутся в виде
*0/1= Я„Ф0® 4" тх0'
*1Л= Ф0^ол+^ТоТо®о; |
. |
(10.4.2) |
«о= Ф!«1 + р & (zi —
Sj = 0.
Подставим во второе уравнение первое, а в третье — четвер тое. Получим
* i / i = Ф 05 0ф о«о + р ь М о Ф о + ф ат х ^
So = /7ili(zi — Il*i/i).
Обозначим
Вi/o= Ф0£офо + /?»,оГоГо
иподставим второе уравнение в первое. В результате система четырех уравнений (10.4.2) приводится к уравнению
*ш = Яi/oAg! (z i ~ l l x i n ) Hr ф о т м .
Сделав приведение подобных членов в этом уравнении, по лучим
{В + ^i/oA&iSl) х и — В ц о р ^ г ^ Ф0тхй.
Умножим обе части последнего уравнения слева на матрицу
Bvl-
(#i/o + A l i l i ) *i/i = A liA 'b В \ ^ йтм .
Обозначив
£ i/i= (#i/d + A lili) \
запишем выражение для оценки вектора параметров движения по одному измерению:
|
i — ■^i'i/?ili'2'i "h |
o<$0mx0-\- |
|
+ |
# 1 l/^ilil.I^'ra.ro— B i |
i/7iI i l i (l1om^o= |
|
= |
^i/iA ii (^1 — |
-t- |
|
Окончательно |
|
|
|
Xi^ = % m xQ-)r B mpll A z i - ' & <btfnxQ)’ |
(10.4.3) |
|
Кт = ( В щ + р М \ ) ~ 1- |
(10.4.4) |
Положим теперь N = 2. Тогда уравнения (10.4.1) |
запишутся |
в виде |
|
|
|
x m = BQ® l s ^ m x()\ |
|
|
•*1/2— Ф0*0 2 Н“ Р^оТоТо^О-’ |
|
^2/2-=®1^ i/2 + ^}X iTISi ; |
(10.4.5) |
|
«О = Ф^1 + A ll («1 - |
lixm h |
|
|
Si= ®ls2-f p2l 2 (22 — I2-V2/2); |
|
|
«2 = 0 . |
|
|
Произведем преобразование системы уравнений (10.4.5) с ' использованием результатов и методики рассмотренного выше случая jV= 1. Подставим первое уравнение во второе:
* 1/2= фо/?офо«о+ МоТоТо«о+ <x,o"*to = £i/0'Vf' фо"**о- (10.4.6)
Четвертое уравнение в (10.4.5) запишем с учетом (10.4.3)
s0= ф 1«1 -(-1^1/1 * 1 1 A lili-*i/2 "i_ /’iliIi<^o^ o ^1/1 фотел-о>
а затем перепишем его с учетом (10.4.4): |
|
$о= ф!®1 B\i\xi;\ — /Tlifi*i/2— Bijo®Qtnxo- |
(10.4.7) |
Подставив (10.4.7) в (10.4.6), получим |
|
*1/2= #1/0 [ф1«1+ Bijlxm — р&х&Хщ] •
Разрешив последнее уравнение относительно хр2, получим
* 1/2 = Bin^\sl -|-*i/i. |
(10.4.8) |
Подставим уравнение (10.4.8) в третье уравнение |
системы |
(10.4.5): |
|
*2/2=ф1 ^ п ф1«1 + ф1*1/1+^!т1П«1- |
(ТО.4.9) |
О бозн ачи м
5 2/i = ® j5 i/i®i + A ,iTiYi-
Подставив предпоследнее уравнение системы (10.4.5) в урав нение (10.4.9), получим
■Хц2— ВглР&ъ (^2 — I2-V2/2) 4“
Разрешив последнее уравнение относительно х2/2, запишем окончательное выражение оценки вектора параметров движения по двум измерениям на момент времени t2:
.*2/2 = |
B2j2p £ 2 {Z2— |
\X\j\) |
|
|
(10.4.10) |
|
£2H= $ i£ i/i$ I + |
/7iuriYb |
|
(10.4.11) |
|
= |
|
|
|
(10.4.12) |
Оценка (10.4.10) |
вместе с оценкой (10.4.3) |
составляет полную |
систему оценок для случая N = 2. |
|
|
4, ..., |
можно пока |
Поступая точно так же для случаев N = 3, |
зать, что рекуррентные соотношения имеют вид |
|
X i + m + 1— Ф/ЛГц/ |
В i + i i + i P i + i i ; + i |
( 2 4 + 1 |
\ i + l ® i x |
Hi)\ ( 1 0 . 4 . 1 3 ) |
■ Дг-н// + ф;Д//гф;+/АкЛГ^г; |
|
(10.4.14) |
B i+lli+l= (B J -^iii-pi+1U |
i r l- |
(Ю.4.15) |
Из уравнения (10.4.13) видно, что текущая оценка определя ется как предыдущая оценка плюс поправка за счет нового из мерения. Матрица (10.4.15) является корреляционной матрицей
вектора ij+i/i+i-
Рассмотрим в качестве примера задачу 2 (§ 1.3) определения параметров движения спускаемого на поверхность планеты кос мического объекта по измерениям его высоты с помощью радио высотомера.
Для получения конкретных выражений (10.4.13) — (10.4.15) дискретного фильтра Калмана запишем сначала модель движе ния (1.3.7) в конечно-разностном виде
v i+1^ = ^ { v u— Xi —g sin 0/ + »,);
в‘«=4Ф + Ы т 7 7 “ Гг)с<к''
// /+1=Д< (#,-{-vt sm 6,.),
азатем линеаризуем ее в окрестности расчетного движения, при няв At = 1 с:
Дг',.+1= Дг>г — g cos 6гд0; + »,■;
+r |
R + Hi |
cos 6,-Дг;,- |
1 - |
sin 0; |
X |
|
|
|
|
R +Hi |
|
|
|
X Дv |
|
-c o s |
9,.дHe, |
|
|
|
(R |
+ H,)z |
|
|
|
A ^ / +1 = s in |
+ |
co s 0 ^ 0 ,-} - ду7 ; . . |
|
Отсюда переходная матрица Ф* и вектор уфзаписываются в виде
1
Ъ= О ,
О
|
|
— g- sin |
|
0 |
|
|
|
1 ------ —— sin 6 - -4- |
V: |
,, 1 |
|
COS 6,1 |
R + |
1т |
|
(R + /У;)2 |
vvOjv/' |
|
|
-f — sin |
6; |
‘ |
|
|
Vi |
|
|
|
|
|
----------------------- |
—!—i—*—I——]— |
|
|
О C/iО чЛЭ
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Элементы матрицы Ф* определяются по параметрам расчет ного движения. Из уравнения измерений
zi+i — Н i+i -\-hi+i [i — О,..., N — 1)
находим вектор
1г
Весовые множители Pi+1 и pb,i определяются по известным средним квадратическим отклонениям, которые в данном приме р е полагались постоянными и равными: 0i+1=2O м, а„, г = 0,1 м/с2. Результаты расчетов вектора оцениваемых отклонений парамет ров движения {Ап, Д0„ АН} приведены на рис. 10.4.1 и 10.4.2.
На рис. 10.4.1 приводятся результаты работы фильтра в иде альных условиях, когда отклонения начальных условий парамет ров движения являются нулевыми. Из рисунка видно, что фильтр примерно 100 с работает устойчиво, а затем начинает расходить ся. На рис. 10.4.2 приводятся результаты работы фильтра в слу чае, когда начальные условия параметров расчетного (невозму щенного) и действительного движения не совпадают между собой, а именно: Ли0 = —20 м/с, А00=1 град, АЯ0= 10 000 м. Из рисунка видно, что фильтр достаточно быстро уменьшает откло-
