Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Рис. 10.4.1. Графики, характеризующие работу фильтров в слу­ чае совпадающих начальных условий:

а —для скорости; б — для угла наклона к местному горизонту; в —

для высоты

Рис. 10.4.2. Графики, характеризующие работу фильтров в слу­ чае несовпадающих начальных условий:

а — для скорости; б —для угла наклона к местному горизонту; . в —

для высоты

289

пения оцениваемых параметров движения от действительных, вызванные отклонениями в начальных условиях, далее работает устойчиво примерно до 100-й секунды, а затем тоже начинает расходиться.

Фильтр Калмана является устойчивым при вполне определен­ ных ограничениях, накладываемых на вычислительные ошибки и ошибки измерения. Неустойчивость фильтра возникает в про­ цессе счета, т .е. алгоритм устойчивый на к-первых тактах счета, на (к+1) такте он становится неустойчивым. Это происходит тем быстрее, чем меньше разрядность машины, чем больше час­ тота счета, чем сложнее алгоритм фильтраций [55].

Многомерные дискретные фильтры с вычислительной точки зрения обладают двумя особенностями':

1)элементы корреляционной матрицы Б,-/г оценок Xi/t с рос­ том числа измерений уменьшаются;

2)алгоритмы расчета матриц Bi+i/i и Bi+i/i+i содержат опе­ рации обращения матричных выражений.

Эти две особенности определяют устойчивость машинного ре­

шения. Одним из необходимых условий устойчивости решения яв­ ляется положительность диагональных элементов корреляцион­

ной матрицы оценок XiU. Элементы В {/* с течением времени уменьшаются и в результате ошибок счета могут оказаться от­ рицательными. Последнее приведет к отклонению оценок от их действительных значений. Вторым необходимым условием устой­ чивости решения является обусловленность обратных матриц. Если обращаемая матрица имеет определитель малой величины, то это вызывает неустойчивость особого рода — задача становит­ ся некорректной.

Задача является некорректной, если небольшие отклонения

висходных данных вызывают сколь угодно большие отклонения

врешении. Некорректные задачи могут решаться с помощью метода регуляризации. Алгоритм для некорректных задач, явля­ ющийся функцией некоторого параметра ё, называется регуляризирующим, если он удовлетворяет следующим условиям:

—решение существует для всех возможных значений исход­ ных данных и всех е > 0;

—решение сходится к точному при e-vO для точных исход­ ных данных.

Следует помнить, что метод регуляризации есть метод при­ ближенного решения, он тем более загрубляет результаты реше­ ния, чем больше параметр е.

Гл а в а XI. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЛЕТНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В гл. I дано понятие о задачах экспериментальной космиче­ ской баллистики и изложена методика решения этих задач. В по­ следующих главах рассмотрены содержание и особенности ос­ новных этапов методики решения. Из изложенного видно, что при решении задач определения и анализа движения космиче­ ских объектов на каждом этапе приходится выполнять ряд тру­ доемких операций по достижению конкретных целей, использо­ вать различные по природе математические методы. В этих ус­ ловиях трудно проследить взаимосвязь этапов решения. Поэтому у исследователя каждый раз может возникать вопрос о правильности полученного решения и его оптимальности.

Ответ на этот вопрос следует искать в теории планирования эксперимента, которая позволяет правильно поставить задачу и установить оптимальное соответствие между задачей и методом ее решения.

При постановке задачи может быть допущен некоторый про­ извол в записи модели движения космического объекта и урав­ нений измерения, в выборе состава измеряемых параметров и критерия качества решения задачи. Однако модель движения должна быть близка в определенном смысле к действительному движению космического объекта; состав измеряемых параметров и точность записи уравнений измерения должны обеспечивать получение достоверной измерительной информации, необходи­ мой для определения и анализа данного движения; критерий ка­ чества решения задачи должен обеспечивать получение оценок с требуемыми предельными свойствами. Таким образом, рамки допускаемого произвола являются вполне определенными. До­ статочными условиями правильности постановки задачи опреде­ ления и анализа движения являются рассматриваемые в этой главе качественные условия адекватности и наблюдаемости сис­

291

темы, состоящей из модели движения и уравнений измерения, и условие состоятельности критерия качества решения задачи.

Некоторые количественные показатели этих условий, а также различные требования, связанные с оптимальностью вычисли­ тельных методов решения задачи, лежат в основе планирования летного баллистического эксперимента. Заметим, что в данной главе рассматривается задача планирования эксперимента при заданной информации об условиях измерений. Эта информация может быть как полной, так и неполной. Задачи, связанные с определением статистических характеристик ошибок измерений и предъявлением точностных требований к измерительным сред­ ствам, ввиду своей специфики сюда не вошли.

Весь процесс планирования и взаимосвязь его этапов иллюс­ трируется на достаточно простом примере задачи определения элементов кеплеровой траектории движения космического объек­ та по измерениям радиовысотомера.

§ 11.1. ОБЩИЕ ИДЕИ И КРИТЕРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ

Основоположниками математической теории планирования эксперимента являются известный английский статистик Р. Фи­ шер и австрийский ученый Д. Нейман. Возникновение теории планирования относится к 40-м годам нашего столетия, а ее бурное развитие началось с 50-х годов.

Планирование эксперимента можно рассматривать как одно из направлений кибернетики. Одной из важнейших теоретических основ планирования следует считать математическую статистику.

Эксперимент в современных условиях в связи с его возрос­ шей сложностью и- материальными затратами становится объек­ том исследования. Если раньше математическая статистика ис­ пользовалась в работе исследователя только на последнем этапе — при обработке результатов измерений законченного опы­ та, то в последнее время наглядно показано, что эффективность опыта может быть 'значительно повышена, если использовать математическую статистику с самого начала работы эксперимен­ татора.

- Задачу планирования летного баллистического эксперимента можно сформулировать так: каким образом выбрать математи­ ческую модель движения космического объекта, как определить состав и программу измерений и как обработать их результаты с целью определения и анализа действительного движения кос­ мического объекта с требуемой точностью и минимальными за­ тратами.

Планирование эксперимента задает четкую логическую схему и оптимальные условия для всех этапов решения задачи, опреде­ ляет методику решения задачи. Методологическая концепция планирования существенно зависит от вида области науки или техники, к которой принадлежит проводимый эксперимент, и от

292

конкретных особенностей задачи. Однако существуют устойчи­ вые связи между этапами решения большинства задач в какой-то области. При решении задач экспериментальной космической баллистики типичная взаимосвязь этапов представлена на

рис. 11.1.1.

Критерии оптимальности решения задачи в теории планиро­ вания являются более общими, чем критерии оптимальности в теории оценивания, рассмотренные в гл. V и VII. Если в теории оценивания эффективность решения определяется только выбо­ ром статистического метода обработки результатов измерений, то в планировании эффективность, кроме этого, как видно из рис. 11.1.1, определяется еще выбором'модели движения косми­ ческого объекта, составом и программой измерений и т. п.

Рис. 11.1.1. Схема решения задачи определения и анализа дви­ жения

Наиболее естественным является оптимальное планирование на каждом из указанных этапов с точки зрения единого крите­ рия. В качестве такого критерия необходимо выбирать один из важнейших показателей испытываемого объекта. При определе­ нии и анализе движения оценочными критериями чаще всего яв­ ляются надежность или точность прохождения траектории кос­

задачу. Прежде всего следует выяснить, какие из этих парамет­ ров являются существенными.

Предположим, что о векторе параметров имеется полная или неполная априорная информация. Пусть, например, в первом

случае дано

q * ^ N { m q, Bq),

293

гой, — мерой его разброса. Поэтому в качестве показателей влия­ ния удобно выбрать в случае (11.1.1) величины

Легко видеть, что если предварительная информация о раз­ бросе вектора q относительно ожидаемого значения mqотсутст­ вует, то в качестве показателей влияния параметров служат только частные производные.

Разброс критерия р (#) относительно номинального значения P(/«q) в первом приближении характеризуется дисперсией

а относительное влияние каждого параметра определяется вели­ чиной

Если теперь, исходя из требуемой точности решения задачи, задаться малой положительной величиной б, то все параметры

которые удовлетворяют условию

следует считать существенными и включить их в число оценива­ емых параметров.

294