Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Вся информация о неизвестном векторе существенных пара­ метров q после проведения эксперимента заключена в плотности вероятностей его оценки, которая, вообще говоря, зависит от условий планирования эксперимента. Под условиями планирова­ ния эксперимента здесь понимается выбор модели движения X из заданного множества {Z}, выбор состава измеряемых функ­ ций Уе{У} и программы измерений U^ {U}, а также способа обработки измерений W ^ { W ) .

Введем в рассмотрение множество {Q} сложных элементов Q, представляющее собой прямое произведение указанных выше множеств. Обозначим плотность вероятностей вектора оценки

через pq(q)- Тогда в качестве критерия-оптимальности экспери­ мента можно выбрать вероятность нахождения оценки в задан­ ных пределах:

семейству нормальных распределений, точность вектора опенки можно характеризовать корреляционной матрицей

^ = « M Q ) ||,

элементы которой зависят от плана эксперимента. В этом случае в качестве критериев оптимального планирования эксперимента могут быть использованы различные скалярные характеристики матрицы. В теории планирования распространены следующие понятия оптимальности плана.

Л-оптимальность. План называется Л-оптимальным, если кор­

Этот план минимизирует среднюю дисперсию оценок парамет­ ров,- или величину диагонали прямоугольного параллелепипеда, описанного около корреляционного эллипсоида.

//-оптимальность. План называется D-оптимальным, если ему соответствует корреляционная матрица с наименьшим значени­

Этот план минимизирует обобщенную дисперсию оценок па­ раметров, или объем корреляционного эллипсоида.

295

Е-оптимальность. План называется ^-оптимальным, если мак­ симальное характеристическое число соответствующей ему кор­ реляционной матрицы минимально:

эллипсоида.

Следует заметить, что использование единогоtкритерия пла­ нирования на всех этапах решения задачи часто вызывает неиз­ меримые трудности даже для весьма простых задач. Поэтому под оптимальным планированием иногда условно понимают оп­ тимальное планирование на каждом этапе с точки зрения ра­ циональной системы не зависимых между собой и не противоре­ чащих друг другу критериев.

Вобщем случае математическая постановка задачи оптималь­ ного планирования имеет много общего с постановкой задачи отыскания экстремума функции на каком-то множестве элемен­ тов, подчиняющемся заданной системе ограничений.

Взависимости от способа достижения экстремальной точки различают статическое и динамическое планирование. В стати­ ческом планировании процесс достижения экстремальной точки планируется заранее, а в динамическом — во время прохождения эксперимента.

Взависимости от рода элементов множества различают ана­ литическое и комбинаторное планирование. В аналитическом планировании элементы множества могут принадлежать функ­ циональному или векторному пространству, а в комбинатор­

ном— они строятся специальным образом из нулей и единиц.

В зависимости от вида ограничений плана различают линей­ ное и нелинейное планирование. В линейном планировании огра­ ничения представляют собой систему линейных уравнений, в не­ линейном — нелинейных.

При решении задач экспериментальной космической баллис­ тики приходится иметь дело со всеми перечисленными разновид­ ностями планирования.§

§ 11.2. НАБЛЮДАЕМОСТЬ'

Прежде чем переходить к планированию по определению и анализу движения космического объекта по одному из критериев (11.1.7) — (11.1.10), рассмотрим одно важное условие, которое необходимо соблюдать при согласовании модели движения с из­ меряемыми функциями.

При совместном рассмотрении модели движения космическо­ го объекта и измеряемых функций возникает вопрос существова­ ния и единственности решения задачи определения вектора оце­ ниваемых параметров по вектору измеряемых параметров. Этот

296

вопрос имеет не столько математическую, сколько практическую ценность, так как в практике баллистического космического экс­ перимента уравнения движения и уравнения измерения' часто могут быть не согласованными между собой.

Условие, при котором существует единственное решение за­ дачи определения и анализа движения, называется условием на­ блюдаемости. Термин «наблюдаемость» был введен Р. Калманом. Им же получены критерии наблюдаемости для линейных систем. В ряде работ, к настоящему времени немногочисленных, описаны критерии наблюдаемости для нелинейных систем. В дан­

свойство модели движения и измеряемых функций. Определение. Система Х=У, составленная из уравнений дви­

жения и уравнений измерения на интервале времени [О, Т], на­ зывается наблюдаемой, если между множеством фазовых траек­ торий {*(/)} и множеством измеряемых функций {y(t)} сущест­ вует взаимно однозначное соответствие.

Проиллюстрируем это определение на простых частных слу­ чаях.

С л у ч а й 1. Пусть движение объекта описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

если для дифференциальных уравнений выполнены условия тео­ ремы существования и единственности решения. Таким образом,

=1,..., п) существовали и были непрерывными на интервале [О, Т].

Сфизической точки зрения действительное движение косми­ ческих объектов реализуется всегда единственным образом, од­ нако модель, описывающая это движение, может вырождаться. Например, как замечено в гл. II, модель движения космического объекта относительно центра,масс, записанная с использованием углов Эйлера, может быть вырожденной. Вырожденной является модель движения в оскулирующих элементах для экваториаль­ ных орбит.

297

Из уравнений видно, что y{t) однозначно определяется через x(t). Для существования же обратного однозначного соответст­ вия между x(t) и y(t) необходимо, чтобы выполнялись условия теоремы существования неявных функций

yl— ul(xu . .. , х п; t) — 0 ( /= 1 ,..., п).

Таким образом, для наблюдаемости достаточно, чтобы Яко­

был невырожденным на интервале [О, Т]. Это условие необходи­ мо соблюдать при выборе состава измеряемых параметров и на­ значении характеристик модели измерения. Известно, например, что положение космического объекта в прямоугольной системе координат определяется однозначно по измерениям дальностей с трех измерительных пунктов в любой момент времени. Однако если измерительные пункты расположены в плоскости орбиты, то задача не решается.

В рассмотренных случаях размерность фазового пространст­ ва и пространства измерения была одинаковой. Это не обяза­ тельно.

С л у ч а й 3. Пусть движение объекта описывается системой

а измеряется только один l-й параметр

У1 = Щ { х 1, . .. , х п\ t).

Предположим, что для дифференциальных уравнений выполг няются условия теоремы существования и единственности реше­ ния. Тогда измеряемый параметр yi = yi{x........xn0; t), зависящий от п начальных условий, при некоторых предположениях можно рассматривать как решение какого-то обыкновенного дифферен­ циального уравнения и-го порядка

298

может быть приведено к системе уравнений в форме Коши

П

ес=1

Поскольку исходное уравнение и полученная система эквива­ лентны между собой, то между их решениями существует взаим­ но однозначное соответствие

Следовательно, вместо уравнений движения и уравнений из­ мерения мы можем рассматривать систему функций, построенных следующим образом:

У ^ ) = Щ л ( х о- • х п ; *);

и для наблюдаемости, как было показано в случае 2, достаточно, чтобы Якобиан

был невырожденным на интервале [0, Т].

299