Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

В рассмотренном случае недостающая размерность прост­ ранства измерений по сравнению с фазовым пространством ком­ пенсируется за счет информации о динамике объекта, содержа­

Для любого измеряемого параметра yi (/=1, ..., от) может быть составлена якобиева матрица, как в случае 3. Объединив все такие матрицы, получим (от г Х г ) — матрицу наблюдаемости для вектор-функции y(t ) :

Сформулируем общее утверждение, справедливость которого в достаточной степени поясняют рассмотренные выше частные случаи.

вания и единственности решения и ранг матрицы (11.2.5) был равен г. •

Исследование наблюдаемости многомерной нелинейной систе­ мы является трудоемким процессом. Основную трудность пред­ ставляет определение ранга матрицы. Однако этот процесс мо­ жет быть облегчен.

Во-первых, если в качестве измеряемых параметров рассмат­

ривать сдм параметр yi(t) и его производную.по времени yi{t)> то можно показать, что

р ан г/г[уг(П ]> р а н г /г[уг(/)1.

300

Отсюда следует, что нелинейная система наблюдаема по век­ тору измеряемых параметров y(t) во всех тех случаях, когда

она наблюдаема по измерениям производной у (t), и не наблю­ даема по измерениям производной во всех тех случаях, когда она не наблюдаема по самому вектору у (t).

Во-вторых, если в качестве измеряемых параметров рассмат­ ривать сложную U[[^>i(x, t)] и простую фг(х, t) функции вектора оцениваемых параметров х, то можно показать, что

ранг/, [ui['.'i(x, И]] < ранг/,[>,(.*, t)\.

Отсюда следует, что нелинейная система наблюдаема по про­ стой вектор-функции измеряемых параметров ф(х, t) во всех тех случаях, когда она наблюдаема по сложной вектор-функции измеряемых параметров ы[ф(х, ^)] и не наблюдаема по измерени­ ям сложной вектор-функции, когда она не наблюдаема по прос­ той вектор-функции.

В-третьих, так как невырожденные линейные преобразования не изменяют ранга матриц, то при определении ранга матрицы (11.2.5) допустимо над ее строками (столбцами) производить любые элементарные преобразования: любую строку (любой столбец) можно умножать на любое отличное от нуля число; к любой строке (к любому столбцу) можно прибавить другую строку (другой столбец).

Сформулированный критерий является качественным по смыслу, так как он базируется на качественной теории диффе­ ренциальных уравнений. Используемая нами классическая тео­ рема о существовании неявных функций имеет локальный харак­ тер, поэтому критерий также является локальным, т. е. он дейст­ вует лишь в ^некоторой. окрестности рассматриваемой точки фазового пространства.

Наличие точек, в которых ранг матрицы (11.2.5) меньше г, означает, что в окрестности этих точек не соблюдается достаточ­ ное условие единственности решения. Кроме того, эти точки сви­ детельствуют обычно о том, что в области фазовых траекторий (хД)} или начальных условий {х0}, на заданном временном ин­ тервале [О, Т] не существует и глобальной взаимной однознач­ ности. Могут существовать далекие друг от друга в каком-то смысле фазовые траектории движения, которым будут соответ­ ствовать одинаковые измеряемые функции или на всем интерва­ ле [О, Т], или на его части.

Глобальная взаимная однозначность может не существовать даже тогда, когда описанный критерий наблюдаемости всюду локально выполняется. Для того чтрбы гарантировать глобаль­ ную взаимную однозначность, нужно наложить дополнительные условия как на якобиан, так и на структуру фазового простран­ ства [47]. Необходимо потребовать, например, чтобы якобиева матрица (11.2.5) имела в своем составе всюду положительно

301

(отрицательно) квазиопределенную подматрицу порядка /\ Квадратная матрица называется положительно (отрицательно) квазиопределенной, если соответствующая квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной. Если к тому же матрица симметрическая, то она называется положи­ тельно (отрицательно) определенной.

Остановимся на вопросе наблюдаемости линейных стационар­ ных систем.

Построим матрицу (11.2.5) для линейной системы дифферен­ циальных уравнений

х = Ах,

где А ==||аы \— п X «-матрица постоянных коэффициентов, и для скалярного измеряемого сигнала

y{t )= lTX(t),

где g = |S j,.. %пf — матрица-столбец. Имеем

цп-Л = 1v r - y

лфп~^ dx

откуда получаем матрицу

Рассмотрим конечную аналитическую зависимость

и непосредственную схему измерений

Фазовая координата x(t ) зависит от г неизвестных парамет­ ров qj (/=1, ..., г), которые можно рассматривать как произволь­ ные постоянные, являющиеся результатом решения какого-то

3 0 2

дифференциального уравнения r-го порядка. На основании этого имеем

Отсюда матрица (11.2.5) запишется в виде

Определитель матрицы (11.2.7) является Вронскианом. Вронскиан не равен нулю только в том случае, когда система функций линейно независима. Таким образом, если система функций линейно' независима, то система наблюдаема, т. е. су­

ществует однозначный вектор оценок q. Подобный результат обсуждался в гл. V, только критерием однозначности служила матрица Грама.

В рассмотренных случаях наблюдаемость по матрице (11.2.5) имеет глобальный характер. Это видно из того, что матрица (11.2.6) вообще не зависит от начальных условий и времени. Матрица (11.2.7) также не зависит от оцениваемых параметров, но зависит от времени. Однако определитель Вронского, как из­ вестно, обращается (не обращается) в нуль на всем интервале [О, Т], если он равен (не равен) нулю хотя бы в одной точке это­ го интервала. Таким образом, для рассмотренных линейных сис­ тем свойство наблюдаемости является глобальным.

§11.3. ВЫБОР МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ

ИСОСТАВА ИЗМЕРЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ

Предположим, что имеется задача определения точности или надежности движения космического объекта по результатам из­ мерений. Пусть движение в конечном итоге, может быть задано конечным числом элементов. Для решения данной задачи необ­ ходимо записать математическую модель движения, и модель из­ мерения. Очевидно, для этого могут быть использованы различ­ ные модели. Например, движение космического объекта может быть записано в прямоугольной, цилиндрической или сфериче­ ской системах координат. Состав измеряемых параметров, как видно из гл. III, также может быть разнообразным. Ввиду нали­

303