Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

чия множества моделей движения {X} и множества моделей из­ меряемых функций {У} возникает проблема оптимального вы­ бора в смысле какого-то критерия планирования модели движе­ ния и модели измерения на прямом произведении {А"}х{У} этих множеств.

Элементы {X} и {У} должны быть прежде всего согласованы между собой по наблюдаемости. Например, пусть какая-то мо­ дель Хе{Х} имеет вид

X = f ( X , t),

а множество измеряемых функций угля данной модели задано в виде

у = и [ х, Л,

где х—я-мерный вектор фазовых координат, а у —М-мериый вектор измеряемых функций.

Составим M n Y J i матрицу (11.2.5) и рассмотрим множество ее квадратных миноров n-го порядка. Это будет множество соче­

таний из Мп строк по п строк, См„. Выделим в этом множестве подмножество таких миноров, которые имеют ранг п. Каждому такому минору соответствует измеряемая вектор-функция у= (уи..., Ут), т<М, Все такие вектор-функции будут согласо­ ваны с рассматриваемой моделью движения по наблюдаемости. Если матрица (11.2.5) не имеет миноров ранга п, то модель дви­ жения или модель измерения исключается из рассмотрения.

Исследование наблюдаемости, например, орбитального дви­ жения космического объекта позволяет установить, что все шесть элементов орбиты могут быть уточнены по измерениям только

наклонной дальности р или только радиальной скорости р, про­ изводимым с одного измерительного пункта, координаты поло­ жения которого на поверхности Земли известны. Задача также имеет решение для любой измеряемой вектор-функции, в состав которой входит один из названных параметров. Однако если ско­ рость вращения Земли не учитывать, что имеет место в случае, когда измерения сосредоточены на коротком временном отрезке, то элементы орбиты не определяются по измерениям одной толь­ ко наклонной дальности. Для решения задачи уточнения всех элементов орбиты в этом случае требуются совокупные измере­ ния наклонной дальности р и хотя бы одного направляющего ко­ синуса cos 0.

Обозначим множество наблюдаемых систем, выделенных по критерию наблюдаемости (11.2.5), через {X—У}. Дальнейший оптимальный выбор системы на этом множестве не представля­ ется возможным.

На основе матрицы (11.2.5) можно построить количественный

304

зависящую в конечном итоге от вектора неизвестных парамет­ ров q, характеризующего собой модель движения и модель из­

ра q, будем рассматривать величину

M t }= M [ \ K n

в случае наличия полной априорной информации статистическо­ го характера о векторе q или величину

в случае неполной априорной информации.

Тогда в качестве количественного критерия ценности измери-

или

1.3.3)

Оптимальной системой X—У следует считать ту, которая максимизирует один из этих критериев на множестве {X У).

Введенный критерий является удобным для выбора опти­ мального отрезка времени измерений. Однако влияние вида мо­ дели движения и состава измеряемых параметров здесь трудно проанализировать. В тех случаях, когда имеется корреляционная матрица оценок В^ , можно воспользоваться более наглядным

характеризует собой модель измерений, а матрица

дх

0 [ Х ) =

'dq

модель движения.

305

Если воспользоваться теперь критерием D-оптимального пла­ нирования, то оптимальную систему следует определять из ус­ ловия

!х—к}

Вэтом случае можно, отдельно оценить оптимальность моде­ ли движения. Для различных систем элементов орбит космиче­ ских объектов результаты подобных исследований были опубли­ кованы в работе [48]. Оказывается, если движение космического объекта рассматривается в прямоугольной геоцентрической сис­ теме координат, то координаты и скорости, соответствующие начальному моменту времени, уточняются с одинаковой точно­ стью по измерениям заданного состава при любом относительном положении системы координат и плоскости орбиты. Это связано

стем, что переход от одной прямоугольной системы координат

кдругой выполняется с помощью матрицы ортогонального пре­ образования. Если для описания движения воспользоваться ци­ линдрической или сферической криволинейными координатными системами, то для уточнения начальных условий движения це­

лесообразно совмещать опорную координатную плоскость этих систем с плоскостью орбиты.

Далее, если в качестве оцениваемых параметров движения, рассматриваемого в прямоугольной геоцентрической системе координат,, принять кеплеровы элементы орбиты i, со, Q, а, I, MQ, то их определение становится затруднительным при /->-0 и при г'-Д). Это связано с тем, что для круговых орбит теряет физиче­ ский смысл элемент со, а для экваториальных орбит — элемент П. Если же в качестве оцениваемых параметров принять систему элементов Якоби или любую другую каноническую систему эле­ ментов орбиты, то задачу уточнения элементов орбиты по изме­ рениям заданного состава можно решать при любом относитель­ ном положении прямоугольной системы координат и плоскости орбиты, так как точность решения от этого не зависит.

Задача отыскания оптимальной системы X —У в соответствии с условием (И .3.5) в общем случае является задачей комбина­ торного планирования. Очень важно в самом начале на основе анализа достоинств и недостатков различных моделей движения и различных моделей измерения сузить множество {X—У} до минимально возможного множества таких систем, дальнейший

выбор среди которых требует использования количественной меры.

Рассмотрим перебор вариантов в элементарном случае. Пусть множество {А} состоит из двух моделей:

Г Г

.306

Имеется два измерительных средства в множестве {)}:

чить оценки четырьмя различными способами. Все оценки, как показано в гл. VI, являются несмещенными, а их разброс харак­ теризуется корреляционными матрицами:

Если критерием планирования выбран определитель корреля­ ционной матрицы оценок, то необходимо найти среди матриц (11.3.8) ту, которая имеет наименьший определитель. Если ока­

J -1

z2i = k ,x (/,•)-f h2i, h2i б .V (0, з2).

Заметим, что выбор модели (11.3.9) производится при Усло­ вии фиксированной последовательности моментов измерений. Если варьировать программой измерений, то можно придти к более оптимальному решению.

§ 11.4. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ И ПРОГРАММЫ ИЗМЕРЕНИИ

Модель измерений характеризуется вектором параметров jii= (pi, •••, ps), который в предыдущем параграфе полагался из­ вестным. Очевидно, можно варьировать этим вектором с целью получения более оптимального решения задачи. Элементы мат­ риц (11.3.8) зависят, кроме того, от N моментов времени t — = (/ь ..., Ev). Варьируя ими, можно получить оптимальные в ка­ ком-то смысле моменты измерений.

В общем случае эта задача решается совместно. Для опреде­ ления оптимальных моментов измерений и оптимальных харак­

307

теристик в рамках D-планирования необходимо решать систему экстремальных уравнений

_I ч \ — п __I 4 I - п

Ввиду полной аналогии процесса решения рассмотрим зада­ чу оптимального планирования моментов измерений на задан­ ном интервале [О, Т] при условии ограниченного их числа.

11.4.1. Планирование программы при полной информации об условиях измерений

Пусть имеется задача оценки вектора параметров q в моде­ ли типа (11.3.11)

Известно, что наилучшая оценка в этой задаче определяется по методу наименьших квадратов

q-- C~"VrPz,

а ее точность характеризуется корреляционной матрицей

носительные числа измерений (уг — щ/Ы, где п* — число измере­

ний в момент U), оптимизирующий точность оценок в смысле того или иного критерия, будем называть оптимальной програм­ мой.

Заметим, что если в каждый момент времени может быть

проведено только одно измерение, то под моментами U следует понимать точки интервала [О, Т], относительно которых измере­ ния как бы сгущаются.

Воспользуемся критерием D-оптимальности. Система урав­

нений для определения оптимального плана U в соответствии с условием

min det В~ {и}

308