ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
3 2 0 Гл. 7. Определение механических характеристик
for Viscoelastic Behavior, 1. Mech. Pkys. Solids, 16, 59 (1968).
7.30.Spriggs T. \V., Huppler J. D., Bird R. B„ An Experimental Apprai sal of Viscoelastic Models, Trans. Soc. Rheol., 10, 191 (1966).
7.31.Stafford R. O., On Mathematical Forms for the Material Functi ons in Nonlinear Viscoelasticity, I. Mech. Phys. Solids, 17, 339 (1969).
7.32.Tobolsky A. V., Catsiff E., Elastoviscous Properties of Poly isobutylene (and Other Amorphous Polymers) from Stress—Re laxation Studies; IX. A Summary of Results, J. Polym . Sei., 19, 111 (1950).
7.33.Vinogradov G. V., Belkin I. M., Elastic, Strength and Viscous
Properties of Polymer (Polyethylene and Polystyrene) Melts, J. Polym er. Sei., Part A, 3, 917 (1965).
7.34.Ward I. M., Onat E. T., Non-Linear Mechanical Behavior of Orien ted Polypropylene, J. Mech. Phys. Solids, 11, 217 (1963).
7.35.Ward I. M., Wolfe J. M., The Non-Linear Mechanical Behavior of Polypropylene Fibres under Complex Loading Programs, J. Mech.
Phys. Solids, 14, 131 (1966).
7.36. Zapas L. J., Viscoelastic Behavior under Large Deformations,
J.Res. Nat. Bur. Stand., 70A, 525 (1966).
7.37.Zapas L. J., Craft T., Correlation of Large Longitudinal Defor mations with Different Strain Histories, J. Res. Nat. Bur. Stand., 69A, 541 (1965).
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Ступенчатые функции и дельта-функции
Единичная ступенчатая функция (единичная ступен чатая функция Хевисайда) определяется условием
Л(0 = ( ° |
" р" |
І < |
0 ' |
(П.1) |
і 1 |
при |
t > |
1; |
|
ее можно представить как на рис. П.1 при е->0. Функ ция h i t —а) просто сдвигает разрыв на рис. П.1 вправо или влево в зависимости от знака а.
Р и с . П.1. Единичная ступенчатая функция.
Дельта-функция (дельта-функция Дирака) опреде ляется как функция со следующими свойствами:
оо
б (/ — а) = 0 при t Ф а, Г б (/ — а) dt --- 1. (П.2)
Эти свойства можно согласовать с функцией, представ ленной на рис. П.1 при е-И). Важное свойство дельтафункции состоит в том, что если f(t) является непре-
Б. Свойства преобразования Лапласа |
323 |
где параметр преобразования s может быть |
в общем |
случае комплексным числом. Для того чтобы существо
вало преобразование Лапласа f(s) функции f(t), доста |
|
точно, чтобы функция f(t) была кусочно-непрерывной |
|
на каждом конечном интервале при |
0 и чтобы fit) |
при <->оо имела порядок экспоненты. Последнее требо
вание означает существование |
такой константы |
а, что |
t—*■ОО |
= 0. |
(П.6) |
|
|
|
Таким образом, функция f(t) |
должна при t->оо |
расти |
не быстрее, чем экспонента. |
|
|
Преобразование производных
Пусть функция f(t) и ее первые п — 1 производных непрерывны. Тогда преобразование Лапласа п-й произ водной функции f i t ) определяется формулой
2 [ dnf (t)!df) = sn f (s) — s"-1 f (0) — s"-2 /(1) (0) —
-----------sf{n- 2)(0)— / (п-1)(0), (П.7)
где /<fe)(0) обозначает d hf ( t ) / d t h при ^ = 0 .
Преобразование интеграла свертки
Сверткой двух функций f(t ) и g(t), которые счита ются кусочно-непрерывными, называется выражение
§ fit) git — i)dx.
о
Преобразование Лапласа от этого интеграла свертки дается формулой
t |
_ _ |
* J /it) g ft |
т) dx — ~f is) g (s). |
о
Из равенства f is)g(s) = g ( s ) f is) следует, что интеграл свертки коммутативен.
324 |
Приложения |
Обращение преобразования Лапласа
Допустим, что преобразование Лапласа f(s) являет ся аналитической функцией комплексного переменно го s всюду, за исключением изолированных особых то
чек. Обратное преобразованию f(s) преобразование да ется формулой
7 + 1 0 0 |
|
f(t) = SrAJ(s) = (\i2ni) I estf(s)ds, |
(П.8) |
7 — І со
где і = (—1)1/2 и прямая Re(s) = у лежит справа от всех
особенностей функции f(s). Таким образом, формула обращения предусматривает интегрирование вдоль ли нии, параллельной мнимой оси в комплексной плоскости S . Вычисление этого интеграла обычно производится с помощью теории вычетов и рассматривается ниже для частного случая.
Обращение для простых полюсов
Пусть функция 7(s) |
имеет вид |
|
|
T(s) |
= P ( s ) / Q ( s ) , |
(П.9) |
|
и пусть все особенности f(s) |
являются простыми |
полю |
|
сами в нулях функции Q(s). |
Вычеты f ( s ) e s( в этих осо |
||
бенностях при s = üj определяются по формуле |
|
||
|
Р (йу) е а/ |
|
|
lim [Q (s)f(s — а )] |
|
||
S - * ü j |
|
J |
|
Как показано на рис. П.2, интеграл по прямой в (П.8) заменяется интегралом по замкнутому контуру путем присоединения к прямой R e (s )= y дуги окружности ра диуса /?->-оо. Согласно теории вычетов, интеграл по всему контуру равен умноженной на 2л;і сумме вычетов
внутри контура. Если |f(s) |<Сс^- *вдоль дуги s = R elb> где k и с — постоянные, причем & > 0 , то интеграл по ок ружности обращается в нуль и замкнутый контур инте грирования соответствует прямой в (П.8). Использование теории вычетов приводит (П.8) к виду