Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д Й О & А Н Т

будет X + 2. Тогда квадрат будет а;2 + 4а; + 4; п ясно, что после вычитания 4а: + 4 останется квадрат. И также

он по вычитании каждого из этих чисел образует квадрат. Остается, чтобы два этих числа были равны подразде­ ленному. Но эти два числа дают 6ж + 7 и должны быть равны 20. Отнимаем подобные от подобных, и х получается

чтобы каждое из них вместе с заранее данным квадратом давало квадрат.

Пусть большее из этих чисел будет втрое больше мень­ шего и каждое из них вместе с '9 образует квадрат.

От некоторого квадрата, сторона которого есть коли­ чество £-ов, сложенных с 3, отнимаю 9; остаток будет одним из искомых. Пусть меньшее число будет а;2 + 6а;, тогда большее будет За;2 + 18а;.

Следовательно, нужно будет, чтобы последнее число, сложенное с 9, было квадратом. Но оно вместе с 9 будет За;2 + 18а: + 9; это же равно квадрату.

Образую квадрат на 2а; — 3; и а; будет 30.

Меньшее число равно 1080, большее 3240; вместе с 9 они удовлетворяют предложенному.

17 2). Найти три таких числа, чтобы каждое давало следующему за ним данную свою часть и, кроме того, данное число единиц, так чтобы давшие и получившие

оно дает 6-ю часть (т. е. х) и 7 и делается равным 6х — 1. Но 1-е, отдав свою 5-ю часть и еще 6, становится рав­ ным 4а: — 6. И оно должно получить от 3-го 7-ю часть:

*) Задачи 17 и 18 Таинерп ие считает подлинными; по-видимому, они взяты из древнего коммептария к книге 1. См. задачи Ilt и І„ . (Прим, перса.)

68

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА И

и8 и стать равным 6а; — 1. Ыо если 4х — 6 получит 2х +

+5, то выйдет 6а; — 1. Следовательно, 2х + 5 будет 7-й частью 3-го и еще 8.

Если от 2а; + 5 отниму 8, то останется 2а; — 3; остаток 2а: — 3 будет 7-й частью 3-го, и, значит, само 3-е будет

14а; — 21.

После этого нужно, чтобы оно [а:3], получив от сред­ него [а;а] 6-ю часть и 7 и отдав 7-ю часть н 8, стало равным 6а; — 1. Но когда оно отдаст 7-ю часть и 8, то в остатке будет 12а; — 26, а получив от среднего 6-ю его часть и 7, оно станет 13а; — 19; это равно 6а; — 1. И х окажется равным 18/7.

Тогда 1-е число будет 90/7, 2-е 108/7, 3-е 105/7; и они удовлетворяют предложению.

18. Данное число разложить на три таких числа, что­ бы каждое полученное от разложения число превышало следующее за ним на заданную часть и еще на заданное число и все давшие и получившие числа сделались бы равными.

Пусть требуется 80 разложить на три таких числа, чтобы 1-е давало 2-му свою 5-ю часть и еще 6, 2-е же 3-му —

X, и 6, будет X ~Ь 18; когда же оно отдаст 3-му шестую часть и еще 7, то будет х + 9; теперь остается, чтобы все осталь­ ные числа, отдав и получив, стали равными.

Но если 1-е дает свою 5-ю часть и 6, то остается Ах — —6. Следовательно, нужно, чтобы оно, получив от 3-го его

69

Д И О Ф А Н Т

Тогда 1-е будет 170/19, 2-е 228/19 и 3-е 217/19.

19. Найти три таких квадрата, чтобы избыток наи­ большего над средним имел заданное отношение к избыт­ ку среднего над наименьшим.

Пусть одна разность будет втрое больше другой. Возьмем меньшее число за а;3, среднее же з? + 2х -j- 1 —

очевидно, квадрат на стороне х -|- 1; тогда наибольшее будет зг + 8а; + 4.

Следовательно, нужно, чтобы аг + 8а: + 4 — Q . Образую квадрат на х (чтобы иметь а;3) н еще стольких

единицах, чтобы образующие квадрат виды, т. е. х и эти единицы, не превышали по количеству 8а; и 4, по чтобы один вид был больше, а другой меньше.

Пусть единиц будет 3; тогда этот квадрат будет х2 + ба: + 9; его приравняем х~ -|~ 8а: -|- 4, и х окажется

равным 21/2.

К подстановкам. Наибольший квадрат будет 30Ѵ4, наименьший 6Ѵ4, а средний 12Ѵ4; и задача выполнена.

20. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный с оставшимся, был квадратом.

Пусть 1-е будет х, а 2-е 1 + 2а:, и квадрат на 1-м, сложенный со 2-м, стал квадратом.

Остается, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, тоже был квадратом. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, будет

пусть 1; большее же возьмем как квадрат меньшего минус а;2, чтобы квадрат меньшего числа без большего стал квадратом.

И так как квадрат меньшего есть а;2 + 2а: + 1, то боль­ шее будет тем, что следует за а;2, т. е. 2а; -\- 1. И квадрат меньшего минус большее является квадратом. Теперь нужно, чтобы и квадрат большего 4а:2 + 4а: + 1 минус меньшее был квадратом. Но квадрат большего минус

70

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА II

Меньшее число будет 8/5, большее же 11/5, и они удовлетворяют предложенному.

22. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них вместе с суммой обоих составлял квадрат.

Примем, что меньшее будет х, а большее х + 1; тогда квадрат меньшего, т. е. х2, сложенный с суммой обоих, т. е. 2х + 1, образует квадрат.

Остается сделать, чтобы квадрат большего, сложенный с суммой обоих, составлял квадрат. Но квадрат большего, сложенный с суммой обоих, составляет а:2 + 4г + 2. И это должно равняться Q .

Образуем квадрат на х — 2; он будет х2 + 4 — 4а:; получаем х = 2/8.

Меньшее будет 2/8, а большее 10/8, и задача сде­ лана.

23. Найти такие два числа, чтобы квадрат каждого минус сумма обоих составлял квадрат.

Теперь остается, чтобы квадрат на меньшем, умень­ шенный на сумму обоих, был тоже квадратом: он будет

2Ѵ2, а большее ЗѴ2, и задача выполнена.

24. Найти два таких числа, чтобы квадрат их суммы, сложенный с каждым из них, был квадратом.

И так как а:2, если мы прибавим к нему За:2 или 8а:2, будет квадратом, то одно из искомых чисел я возьму За:2, а другое 8а;2, а квадрат их суммы положу х2; и квадрат их суммы с добавлением того или другого останется ква­ дратом. И поскольку сумма обоих 11а:2, то ее квадрат будет 121а;4, но он также будет и х2.

Следовательно, 121а;4 равняется х2. А так как сторо­ на одного должна равняться стороне другого, то х ра­

8/121, квадрат же на сумме их 121/14641, и задача вы­ полнена.

71