Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

25. Найти такие два числа, чтобы квадрат их суммы минус каждое из них составлял квадрат.

Беру сначала некоторый квадрат, вычитая из которого два каких-нибудь числа получаю в остатке квадрат. Пусть это будет 16. Действительно, если из него я вычту 12, то останется квадрат, а если вычту 7, то опять получится квадрат.

Затем опять кладу их в а:2: одно 12а:2, другое 7а;2, а квадрат суммы 16а:2; тогда квадрат суммы минус каждое из них будет квадратом.

Остается, чтобы квадрат суммы равнялся 16а;2; и так как сторона равна стороне, то 19а:2 = 4а:; и х получается

4/19.

1-е число будет 192/361, 2-е же 112/361, и задача вы­ полнена.

26. Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, было квадратом, а стороны этих квадратов в сумме давали заданное число.

Пусть заданное число будет 6.

Если имеются два числа, большее из которых равно учетверенному меньшему минус единица [а.* = 4х2 — 1], то их произведение, увеличенное на меньшее число, обра­ зует квадрат; поэтому полагают меньшее х, а большее 4а: — 1; их произведение, к которому прибавлено мень­ шее число, дает квадрат.

Теперь остается, чтобы их произведение, сложенное с большим числом, т. е. 4а; — 1, тоже было квадратом, сторона которого будет 6 минус сторона 2а; меньшего [квадрата]; тогда, согласпо условиям задачи, сложенные стороны обоих [квадратов] дадут 6. Но это произведение, сложенное с большим [числом], будет 4а;2 + За: — 1, а квадрат 6 — 2а; дает 4а;2 + 36 — 24а:. Приравнивая их между собой, получаем х = 37/27.

К подстановкам. Я положил меньшее равным х (оно будет 37/27), а большее 4а: — 1 будет 121/27, и предло­ женное установлено.

27. Найти такие два числа, чтобы их произведение минус каждое из них было квадратом; стороны этих ква­ дратов в сумме дают заданное число.

Пусть заданное число будет 5.

Если имеются два числа, из которых большее равно учетверенному меньшему с 1, то их произведение минус

72

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА ІХ

меньшее число дает квадрат; возьму большее число 4х + + 1, а меньшее х; их произведение минус меньшее дает квадрат.

Остается, чтобы их произведение минус большее чис­ ло тоже было квадратом; стороны этих квадратов дают в сумме 5. Но их произведение минус большее [число] будет 4х2 — Зх — 1; это равно квадрату на стороне 5 —

— 2х; и х получается 26/17.

Меньшее число будет 26/17, а большее 121/17, и оба удовлетворяют предложенному.

28. Найти два таких квадратных числа, чтобы их произведение вместе с каждым [числом] давало квадрат.

Если один квадрат я положу х2, а другой 1, то про­ изведение будет X2. Нужно, чтобы оно, сложенное с каж­ дым из квадратных чисел, было квадратом. Значит, дело свелось к отысканию квадрата, который, будучи сложен с единицей, дает квадрат.

Полагаю, что квадрат, который я хочу сделать про­ изведением этих чисел, будет х2.

Тогда, если к нему прибавить 1, то он будет х2 + 1. Нужно, чтобы это равнялось квадрату. Этот квадрат строю на стороне х — 2. Он, т. е. х2 + 4 — 4х, должен равняться х2 + 1; и х получается равным 3/4.

Тогда один [квадрат] будет 9/16, а другой 16 [шестнад­ цатых]. Их произведение вместе с 1 дает квадрат.

Теперь нужно, чтобы их произведение вместе со вто­ рым [числом] давало квадрат. И так как это произведение

произведение минус каждое было квадратом.

Если 1-е я положу х2, а 2-е 1, то произведение их будет X2. Значит, нужно, чтобы и оно минус 1 было квадратом. Но X2 есть квадрат; дело свелось к отысканию, какой квадрат минус 1 будет квадратом. Но есть квадрат 25/16; он действительно, после вычитания 16/16 дает квадрат

9/16.

73

Д И О Ф А Н Т

Положу теперь один квадрат х1, а другой 25/16, и их произведение минус х2дает квадрат. Теперь нужно, чтобы их произведение минус 25/16 также было равно квадрату.

равниваем квадрату. Все [множим] на 16 (и берем 25-ю часть >.

1-е число будет 289/64, 2-е 100/64; и задача выполнена. 30. Найтн два таких числа, чтобы их произведение после прибавления пли вычитания суммы было квад­

ратом.

Так как сумма квадратов любых двух чисел после прибавления или вычитания удвоенного их произведе­ ния дает квадрат х), то я взял два числа 2 и 3. Очевидно, что сумма их квадратов вместе с удвоенным произведе­ нием, дающая 25, образует квадрат, и также сумма их квадратов, уменьшенная на их удвоенное произведение, дает квадрат — единицу. Я возьму их произведение рав­ ным 13а:2.

1-е из них я положу х, а 2-е 13а:, и произведение их будет 13а;3. Теперь 13л;2, прибавить ли к нему 12л:2 или вычесть, будет квадратом. Тогда нужно, чтобы 12а;3 равнялось их сумме. Но эта сумма равна 14а;. Значит, 12а;2 равно 14л:; и х будет 14/12, или 7/6.

Но 1-е равно х: оно будет 7/6, а 2-е — 13а;: оно будет 91/6, и задача выполнена.

31. Найти два чпсла, равные [вместе] квадрату, и такие, чтобы их произведение плюс и л и минус их сумма было квадратом.

Если имеются два числа, из которых одно вдвое больше другого, то сложенные их квадраты после прибавления или вычитания удвоенного их произведения дадут ква­

нется 4ж2 — квадрат. Если же к 20х* я прибавлю 16.-е2, то получится 36х2 — опять квадрат. Поэтому он считает произведение равным 20х2, чтобы после прибавления или отнятия одного и того же чпсла все равно полу­ чался бы квадрат. (Колшентарий Максшіа Плапуды.)

7 4

изадача решена.

32.Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный со следующим, давал квадрат.

Положим, что 1-е будет х; если одно число будет пре­ вышать удвоенное другое на единицу, то квадрат мень­ шего числа, сложенный с большим, образует квадрат.

атакже квадрат 2-го, сложенный с 3-м, даст квадрат 4а;2 +

+8а; + 4.

Теперь нужно, чтобы квадрат 3-го, сложенный с 1-м, образовал квадрат. Но квадрат 3-го вместе с 1-м будет 16а:2 + 25а; + 9. Это должно быть равно квадрату.

33. Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них после вычитания следующего был квадратом.

вычитания большего должен быть квадратом Ц 2); по­

чтобы Квадрат 3-го числа минус 1-е был квадратом; но

75

ленное на 1, дает в частном 12, разделенное на 2 дает 6, а на 3 дает в частном 4. И если я вычту делитель из част­ ного и возьму половину полученной разности, то этих разностей будет три: 1-я Б1/^ 2-я 2 и 3-я Ѵ3. Теперь оче­ видно, что квадрат каждой такой разности, сложеипый с 12, дает квадрат: 1-й 421/4, 2-й 16 и 3-й 121/4.

Теперь выражаю их в z-ax: 1-й будет 572z, 2-й 2х и 3-й 1/2.т. И сумма этих трех должна равняться 12z2, сумма же трех будет 8z. Следовательно,

8z = 12z2,

откуда z = 4/в.

Тогда 1-е число будет 22/6, 2-е 8/6, 3-е 2/6, и пред­

Я беру точно так же некоторое число, которое имеет три делителя; пусть оно опять будет 12. Прикладывая делитель к частному и беря половину, полагаю три числа: одно ß1/2x, другое 4z, третье 31/2х. Показывается, что ква­ драт на каждом из них без 12 будет квадратом. Остается, чтобы все три равнялись 12z2. Но три сложенных дают

76

А РИ Ф М Е ТИ К А К Н И ГА I II

КНИГА III

1. Найти три такие числа, чтобы квадрат каждого из них, будучи вычтен из общей суммы всех трех, давал квадрат.

Положи два квадрата на сторонах — один х , а другой 2а;; тогда сумма обоих квадратов будет 5а:2.

Полагаю сумму всех трех чисел равной 5а;2, а из иско­ мых чисел одно X, а другое 2х\ и так два из назначенных [условий] выполнены. И мы имеем 5, подразделеноѳ на два квадрата,— единицу и четверку; теперь надо под­ разделить 5 еще иа два других квадрата, как это показано выше (П9), а именно-4/25 из 121/25.

3-е число я полагаю равным стороне одного из этих квадратов; пусть оно будет х\ тогда его квадрат, вы­

чтенный из суммы обоих, даст опять квадрат 121/25.

1-е я полагаю За;2, 2-е 8а;2, а 3-е 15а:2, чтобы квадрат суммы трех, т. е. а:3, сложенный с каждым из них, давал бы соот­ ветственно квадрат, т.- е. 4а;2, <9х2> и 16а:2.

И нужно, чтобы эти три сложенные оказались равными стороне квадрата суммы всех трех, т. е. х. Ыо все три сложенные равны 26а:3; и х получается равным 1 (двад­

77