Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

Положим, что сумма трех чисел будет 4х, а ее квадрат 16х2; если из него вычесть 7х2, 12а;2 и 15х2, то получатся квадраты.

Тогда я беру 1-е число 7х2, 2-е 12х2 и 3-е 15а:2. Остается, чтобы сумма полученных трех равнялась трем [первона­ чальным]. Но мы положили, что сумма трех начальных

Положим сумму трех чисел равной х, а ее квадрат х2, и пусть три числа будут 2а:2, 5х2 и 10а;2; тогда каждое число, из которого вычтен квадрат суммы трех, т. е. а;2, должно быть квадратом.

И так как квадрат суммы трех чисел имеет, конечно, стороной сумму этих трех чисел, то эта сумма трех, рав­ ная X, будет также равна 17а;2. И х получается равным

одной<17-й>, а X2 — одной <289-й>.

1-е чпсло будет 2, 2-е 5, 3-е 10 [двести восемьдесят девятых]; и предложенное выполнено1).

5.Найти три числа, сумма которых равна квадрату,

итакие, чтобы два из них, взятые вместе, превышали оставшееся третье на квадрат.

Положим, что три числа, взятые вместе, равны квадрату на стороне х + 1, т. е. х2 + 2х + 1; пусть 1-е и 2-е вместе

превышают 3-е число на 1; тогда 3-е число будет Ѵ2х2 +

+X, так как 1-е и 2-е вместе должны превышать 3-е на 1 .

Далее, 2-е и 3-е должны превышать 1-е на квадрат; пусть этот квадрат х2; тогда 1-е точно так же будет х + Ѵ2; и как остаток получим 1/2х2 + 1/, — 2-е число. Остается, чтобы 1-е вместе с 3-м превышали 2-е на квадрат. Но 1-е вместе с 3-м превышают среднее на 2х = Q .

Пусть этот квадрат будет 16; и х получается равным 8. 1-е число будет 8Ѵ2, 2-е 3272, 3-е 40; и предложенное

выполнено.

И н а ч е . Сначала я ищу три квадратных числа, сум­ ма которых была бы равна квадрату. Если я сложу два

*) Тавнери подозревает, что задачи 111,-4 этой книги, очень похожие на за­ дачи Им и Пи книги II, проскользнули в текст из древнего коммента­ рия. (Hpuaf. тіepee.)

78

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА XII

квадратных числа, например 4 и 9, и поищу, какой квад­ рат, сложенный с 13, дает квадрат, то я найду 36. И эти три квадрата [в сумме] равны одному 0 .

Теперь дело свелось к отысканию трех чисел, чтобы они, взятые попарно, превышали оставшееся третье на заданное число: пусть 1-е вместе со 2-м будет больше 3-го на 4, а 2-е вместе с 3-м больше 1-го на 9, а 3-е вместе с 1-м больше 2-го на 36.

Это же показано выше 1); и 1-е будет 20, 2-е же 6х/2

и3-е 221/3; и они выполняют предложенное.

6.Найти три числа, равные в сумме квадрату, и такие, чтобы они, взятые по два, давали квадрат.

Возьмем три [числа в сумме], равные 0 , [а именно]

X — 1; но эти три числа в сумме дают х2 + 2х + 1; сле­ довательно, оставшееся 1-е число будет кх. Но 1-е вместе со 2-м положено было х2\ значит, 2-е будет х2 — кх.

Следовательно, еще нужно, чтобы 1-е вместе с 3-м, равные 6х + 1, равнялись квадрату; пусть этот квадрат будет 121; тогда х получится равным 20.

1-е число будет 80, 2-е 320, 3-е 41; они удовлетворяют заданию.

И и а ч е. Положим, что сумма трех чисел равна X2 + 2х -|- 1, и пусть 1-е вместе со 2-м дает х2\ тогда остав­ шееся 3-е будет 2х + 1. Пусть также 2-е вместе с 3-м равно X2 4- 1 — 2х\ из них 3-е = 2х + 1; тогда остав­ шееся 2-е будет х2 — кх. Но 1-е вместе со 2-м также будет х2\ из них 2-е равно х2 — кх; следовательно, остающееся 1-е будет кх. И все три сложенные дают заданный выше 0 = X2 + 2х + 1, и 1-е вместе со 2-м и 2-е вместе с 3-м образуют 0 .

Следовательно, нужно, чтобы и 3-е, сложенное с 1-м, т. е. 6х + 1, равнялось 0 ; пусть он будет 36; и х полу­ чится 35/6.

1-е число будет 140/6, т. е. 840/36, 2-е 385/36 и 3-е

79

Д И О Ф А Н Т

Ищу сначала такие три квадратных числа,'чтобы они имели одинаковые разности, причем каждое число дол­ жно быть меньше полусуммы всех трех.

Возьму 1-е число как х2, а 2-е как х2 + 2х + 1; пх разность будет 2х Ң- 1; если 2х + 1 я приложу ко 2-му числу, то получится 3-е число х2 -1- 4х + 2; это я делаю равным квадрату на стороне х — 8; и х получается рав­ ным 62/20, или 31/10.

1-е число будет 961, 2-е 1681, 3-е 2401; они решают искомую задачу, а именно; имеются три квадрата с оди­ наковыми разностями, и половина суммы трех чисел больше каждого из них.

Теперь я перехожу к ранее поставленной задаче, а именно: найти такие три числа с одинаковыми разностями, чтобы они, взятые по два, давали в сумме квадраты. Сна­ чала ищу три квадратных числа с одинаковыми разно­ стями. Это уже сделано, и квадраты будут: 1-й 961, 2-й 1681, 3-й 2401.

Теперь нужно сделать так, чтобы

1- й Д- 2-й равнялись 961, 2- й + 3-й равнялись 2401

и, изменяя порядок в разности, 3- й + 1-й равнялись 1681.

Положим, что сумма трех будет х; и так как эти три равны

равную 2401, то получу 1-ѳ х — 2401. Наконец, если от х отниму сумму 3-го и 1-го, равную 1681, то получу 2-е X - 1681.

Остается, чтобы эти три числа сложенные дали бы х;

иX получается равным 25211/2.

И1-е число будет 1201/2, 2-е 840Ѵ2 и 3-е ІБбО1^; и пред­ ложенное получается.

8*. Дано некоторое число; подыскать такие три дру­ гих, чтобы суммы любых двух вместе с данным числом образовали квадрат и, кроме того, сумма всех трех вместе с заданным числом тоже образовала квадрат.

Пусть заданное число будет 3, а сумма двух первых х2 + 4х + 1, чтобы вместе с 3 получался квадрат; сумма

80

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА Ш

X = 13.

1-е число будет 33, 2-е 189 и 3-е 64. И задача выпол­ нена.

9*. Задано некоторое число; найти такие три других, чтобы сумма каких-нибудь двух минус заданное давала квадрат и, кроме того, сумма всех трех минус заданное тоже давала бы квадрат.

Пусть опять заданное число будет 3; а сумма двух первых X2 -j- 3; после вычитания 3 получается квадрат;

И так как сумма всех трех чисел равна х2 + 4z + 7, где сумма 1-го и 2-го равна х2 4- 3, то в остатке будет 3-е

двух из них, сложенное с заданным числом, образовало квадрат.

Пусть заданное число будет 12.

Так как мы ищем, чтобы произведение 1-го и 2-го чисел, взятое вместе с 12, давало квадрат, то если от

81

Д И О Ф А Н Т

какого-нибудь квадрата я отниму 12, то получу произве­ дение 1-го на 2-е. Пусть этот квадрат будет 25; если отнять от него 12, то в остатке получу произведение 1-го на 2-е, именно 13. Тогда пусть 1-е будет 13, а 2-е 1; построим их в я-ах, чтобы произведение их давало 13. И пусть 1-ѳ будет 13а;, а 2-е — арифметичная часть Их.

Если я отниму 12 от другого квадрата, то буду иметь произведение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 16; тогда остаток — произведение 2-го на 3-е — будет 4. Построим опять в z-ax так, чтобы произведение их давало 4; если 2-е есть Их, то остающееся 3-е будет 4а;.

Требуется, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно 52а;2. Тогда нужно, чтобы 52а;2 вместе с 12 образовали квадрат; если бы количество Ь-ов] 1-го числа равнялось 13, то уравнение получилось бы просто. Но это не так; приходится найти два таких числа, чтобы их произведе­ ние было квадратом и еще чтобы каждое из них вме­ сте с 12 давало квадрат. Если вместо чисел взять ква­ драты, то произведение будет квадратом. Следовательно, надо искать два квадрата, каждый из которых вместе с 12 давал бы квадрат. Это же легко, и, как мы уже сказали, равенства решаются простох).

Пусть это будет 4 и 1/4; каждое из них, сложенное с 12, даст квадрат.

Найдя эти числа, я перехожу к первоначальному за­ данию и полагаю 1-е равным 4х, 2-е Их и 3-е 1Ііх. Нужно, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно хъ. Тогда х2 вместе с 12 должен равняться квадрату. Я строю квадрат на стороне

Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го минус 10 давало квадрат, то я получу их произведение, если к какому-нибудь квадрату приложу 10; пусть этот квадрат равен 4. Тогда произведение 1-го на 2-е будет 14.

82