Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А РИФ М ЕТИКА К Н И ГА I II

х-ах, чтобы произведение давало 14; пусть 1-е будет

14а;, а 2-е 1/х.

Прибавив 10 к другому квадрату, я получу произве­ дение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 9; тогда про­ изведение 2-го на 3-е даст 19; если 2-е равно Их, то оста­ ющееся 3-е будет 19а:.

Теперь нужно, чтобы и произведение 3-го на 1-е минус 10 (давало квадрат. Но произведение 3-го и 1-го минус 10> будет 266а;2 — 10; оно должно равняться квадрату. И на основании сказанного в предшествующем дело све­ лось к нахождению двух квадратов, каждый из которых после вычитания 10 давал бы квадрат; это же нетрудно.

[Ты найдешь решение, поискав, какой квадрат после вычитания 10 останется квадратом. Действительно, если к какому-нибудь числу прибавить 1, половину суммы воз­ вести в квадрат и из полученного квадрата отнять перво­ начальное число, то остаток опять будет квадратом; поэтому, если к 10 я прибавлю 1, половину полученного, т. е. 5Ѵ2, возведу в квадрат и отниму 10 от получающихся 30Ѵ4, то буду иметь квадрат 20Ѵ4 на стороне 41/2.

Теперь 1-е число я полагаю 30Ѵ4, а 3-е х2; нужно, чтобы после вычитания 10 из х2 остаток тоже был квадра­ том, следовательно, х2 — 10 тоже будет равен квадрату. Строю этот квадрат па стороне х — 2; он будет х2 + 4 —

— 4х, и X получается ЗѴ2. Так как 3-е число я положил X2, то оно будет 121/4. А первое число уже есть 30Ѵ4; оба они без 10 будут квадратами.] *).

Возвращаюсь к первоначальному заданию и полагаю 1-е равным (30Ѵ4) х, 2-е 1/х и 3-е {12г/4)х; произведение

1-го и 3-го будет |3 7 0 y ^ j x 2; если из этого вычесть 10,

то должен получиться квадрат. Чтобы х2 было целым, увеличиваю этот квадрат в 16 раз. Тогда 5929х2 — 160 приравниваю квадрату на стороне 77х — 2, т. е. 5929х2 + + 4 — 308х. И X получается 41/77.

*) Весь текст, взятый в квадратные скобки, вероятно, является позднейшей вставкой. (Прим, ред.)

83

Д И О Ф А Н Т

12. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них, сложенное с оставшимся, давало квадрат.

Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное с оставшимся, давало квадрат, то, взявши какой-нибудь квадрат, некоторую часть его на­ зовем 3-м числом, а остаток — произведением 1-го на 2-е; таким образом, мы удовлетворим одному из поставленных условий. Построим квадрат на х + 3; он будет х2 + 6а: + + 9; положим, что 9 есть 3-е число; тогда остальное будет произведением 1-го на 2-е .г2 + 6а;. Положим, что 1-е будет х; тогда 2-е число дает (х + 6. Теперь нужно, что­ бы произведение 2-го и 3-го чисел, сложенное с 1-м, т. е. > 10а; + 54, было равно квадрату и, кроме того, произве­ дение 3-го и 1-го вместе со 2-м, равное 10а: + 6, также равнялось бы квадрату. И получается двойное равенство, в котором разность 10а: + 54 и 10а; + 6 будет 48.

Следовательно, нужно найти два квадрата с разностью 48, это делается легко и бесконечным количеством спо­ собов. Пусть меньший квадрат будет 16, а больший 64; какой бы из них я ни взял для сравнения, я получу под­ становку для X. Если мы положим, что 10а: + 54 должно равняться 64, то х получится равным 1, если же мы затем скажем, что меньший 16 должен равняться 10а; + 6, получится X = 1.

К подстановкам. 1-е число будет 1, 2-е 7 и 3-е 9; оии удовлетворяют поставленным условиям.

13. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них минус оставшееся давало квадрат.

Положим 1-е число х, 2-е х + 4; тогда их произведение будет X2 + 4а;. Теперь нужно, чтобы оно без 3-го числа давало квадрат; если я возьму 3-е число 4а;, <то одно из условий будет выполнено. Теперь нужно, чтобы произведе­ ние 2-го и 3-го без 1-го давало квадрат > и произведение 3-го

и1-го без 2-го тоже давало квадрат. Но произведение 2-го

и3-го без 1-го будет 4а:2 + 15а;, равное квадрату; произве­ дение же 3-го и 1-го без 2-го будет 4а;2 — (а; + 4), тоже равное квадрату. Мы опять получаем двойное равенство. Так как разность оказывается 16а: + 4, то я ищу два чис­ ла, произведение которых будет 16а; + 4; это 4 и 4а; + 1.

Далее, полусумма этих чисел, умноженная па себя, должна равняться большему, а полуразность, умноженная на себя, — меньшему; и х получается 25/20.

84

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I II

1-е число будет 25, 2-е 105, 3-е 100 [двадцатых], и предложенное верно.

14. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них, сложенное с квадратом оставшегося, да­ вало квадрат.

Возьмем 1-е х, 2-е 4х + 4, 3-ѳ 1, чтобы были выполнены два из назначенных условий.

Теперь остается, чтобы произведение 3-го и 1-го чисел вместе с квадратом 2-го числа, равное 16а:2 + 33а: + 16, давало квадрат; пусть он будет на стороне 4а: — 5, т. е. 16а;3 + 25 — 40а;; получается х = 9/73.

1-е число будет 9, 2-е 328 и 3-е 73.

15*. Найти три таких числа, чтобы произведения лю­ бых двух из них, сложенные с их суммой, давали квадрат.

У всех квадратов произведение двух последовательных квадратов, сложенное с их суммой, будет квадратом.

Возьмем 1-е число 4, а 2-е 9; их произведение, именно квадрат 36, сложенное с их суммой, дает квадрат. Оста­ ется, чтобы произведение 2-го на 3-е, сложенное с их суммой, а также и произведение 3-го на 1-е, сложенное с их суммой, давали квадраты.

Положим, что 3-е число будет х; тогда произведение 2-го на 3-ѳ вместе с их суммой 10х + 9 должно быть ква­ дратом, а также произведение 3-го на 1-е, сложенное с их суммой 5х + 4, тоже должно быть квадратом; опять полу­ чается двойное равенство, и разность будет 5х + 5.

любых двух, сложенное с их суммой, давало квадрат. Положим, что 1-е будет х, а 2-ѳ 3; их произведение

вместе с суммой 4х + 3. Оно равно квадрату; пусть по­ следний будет 25, и X получится 5Ѵ2. Тогда 1-е число будет 5Ѵ2, а 2-е 3, и одно из условий удовлетворено; действи­ тельно, произведение этих чисел, сложенное с их суммой, дает квадрат.

85

Д И О Ф А Н Т

Теперь нужно, чтобы произведение 2-го и 3-го, а также 3-го и 1-го вместе с их суммами давали квадраты.

Положим, что 3-е будет х\ тогда произведение 2-го и 3-го вместе с их суммой будет опять 4х + 3, а произве­ дение 3-го и 1-го (вместе с их суммой) (61І2)х -f- 5Ѵ2, и каждое из них должно быть квадратом. Но так как ко­ личества х-оъ и единиц одного равенства больше соот­ ветствующих количеств другого и, кроме того, ие имеют отношения квадрата к квадрату, то сделанная подстановка не годится.

Таким образом, дело свелось к отысканию двух чисел, произведение которых вместе с суммой давало бы квад­

же равно 4Ѵ5. Их произведение вместе с суммой полу­

86

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I I I

Если, подобно предыдущему, положим одно пиело равным X, а другое какому-нибудь количеству единиц, то попадем опять в безвыходное положение. Чтобы отно­ шение некоторого количества х к другому количеству х равнялось отношению двух квадратных чисел, нужно искать два таких числа, чтобы их произведение минус их сумма равнялось квадрату <и также чтобы эти числа, уменьшенные на 1, имели друг к другу отношение двух квадратных чисел).

Пусть одно число будет па 3 меньше четырехкратного другого; тогда оба эти числа, уменьшенные на 1, имеют друг к другу отношение, как одно квадратное число к дру­ гому; [действительно, если отнять от каждого числа по 1, то уменьшенные будут 4 и 1; так же ясно, что если от четырехкратного отношения отнять четырехкратное, то получится тоже четырехкратное, т. е. отношение квадрата к квадрату] *).

Полагаю 1-е число х -}- 1, а 2-е 4а; -J- 1; если я отниму от их произведения сумму, то получится 4а;2 — 1, равное квадрату на стороне 2х — 2, т. е. 4а;2 -j- 4 — 8а;, и х = = 5/8. Одно число будет 13/8, а другое 28/8, и первое условие удовлетворено.

И так как 1-е число равно 13/8 и 2-е ЗѴ2, то 3-е я пола­ гаю X. Произведение 2-го на 3-е будет (ЗѴ2) а;; после вы­

тания суммы обоих получается -g- х — -g- , что равно квад­

рату. Это умножаю на 16, что дает 10а; — 26.

Их разность 12 равна произведению 2 и 6; половина суммы, умноженная на самое себя, дает 16, которое приравниваем большему 10а; — 14. И получается

X — 3.

3-е число будет 3 или 24/8; имеем 1-е равным 13/8, а

87