Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

Полагаю 1-е число х, а 2-е Ах — 1; если одно число в четыре раза больше другого минус 1, то их произведение вместе с меньшим дает квадрат.

Остается удовлетворить и два остальных условия: чтобы произведение вместе со 2-м давало квадрат и еще чтобы произведение вместе с суммой давало квадрат. Но произведение вместе со 2-м будет 4а;2 + За; — 1 = 0 ; про­ изведение вместе с суммой обоих будет Ах? + Ах — 1 = Q .

Получается двойное равенство; разность будет х и оп­ ределяется произведением V4 и Ах\ х получается равным

65/224.

1-е число будет 65, а 2-е 36 [двести двадцать четвертых долей]; задача решена.

18. Найти такие два числа, чтобы их произведение минус каждое из чисел или их сумма составляло квадрат.

Положу одно X -f- 1, а другое Ах; если одио число в че­ тыре раза без 4 больше другого J), то произведение их ми­ нус большее число дает квадрат.

Кроме того, нужно, чтобы их произведение минус меньшее число, а также это произведение минус сумма обоих давали квадрат. Но их произведение минус меньшее будет Ах? + Ъх — 1, а минус сумма обоих 4.x2 — х — 1, и они должны быть равны квадратам. Разность их будет

19*. Найти четыре таких числа, чтобы квадрат суммы всех четырех чисел оставался квадратом, если к нему при­ бавить или из него вычесть каждое из этих чисел.

Так как во всяком прямоугольном треугольнике квад­ рат на гипотенузе остается квадратом, если к нему приба­ вить или от него отнять удвоенное произведение сторон, прилегающих к прямому углу, то прежде всего я ищу че­ тыре прямоугольных треугольника, имеющих одинако­ вые гипотенузы; эта задача одинакова с задачей на разло­ жение какого-нибудь квадрата на два квадрата, и притом четырьмя способами, а мы знаем, что разложение данного квадрата на два квадрата можно производить бесконеч­ ным числом способов.

*) 4 (ж + і ) — 4 = 4ж; полагается, что ж > 1. (Прим, переа.)

88

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА III

Теперь возьмем два прямоугольных треугольника из наименьших чисел, как, например, 3, 4, 5 и 5, 12, 13, и помножим каждый из взятых на гипотенузу другого; тог­ да первый треугольник будет 39, 52, 65, а второй 25, 60, 65. Это будут прямоугольные треугольники, имеющие одинаковые гипотенузы.

По своей природе число 65 разлагается на квадраты двумя способами, а именно на 16 и 49, а также и на 64 и 1. Это происходит потому, что 65 получается от произве­ дения 13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата. Теперь для взятых 49 и 16 я нахожу сто­ роны, они будут 7 и 4, и образую прямоугольный треу­ гольник на двух числах 7 и 4; это будет 33, 56, 65.

Точно так же у 64 и 1 сторонами будут 8 и 1; я опять образую на этих числах прямоугольный треугольник со сторонами 16, 63, 65.

Таким образом, получаются четыре прямоугольных треугольника с одинаковыми гипотенузами; возвраща­ ясь к первоначальной задаче, в качестве суммы нужных четырех чисел я беру 65а;, а каждое из этих чисел в э?, взятым число раз, равное учетверенной площади, именно: 1-е 4056а;2, 2-е 3000а;2, 3-е 3696а;2 и 4-е 2016а^.

И сумма четырех чисел 12768а;2 будет равна 65а;, так что X получается равным 65/12768.

К подстановкам. 1-е число будет 17136600, <2-е 12675000) таких же долей. 3-е 15615600 таких же долей, четвертое 8517600, а знаменатель равен 163021824.

20. Данное число разложить на два числа и подобрать для шгх такой квадрат, который по вычитании каждой

Поэтому я полагаю, что 1-я часть будет 2х + 1 , а 2-я 4а;. Оба этих числа после сложения должны произвести дан­

89

Д И О Ф А Н Т

21. Данное число разложить на два числа и подобрать для них квадрат, прибавление которого к каждой части давало бы квадрат.

Пусть данное число будет 20.

Возьмем квадрат х2 + 2х + 1 . Он останется квадратом, если я прибавлю 2х + 3, а также если прибавлю 4ж -}- 8. Тогда сумма обоих этих чисел будет 6а; + 11 х).

1-я часть будет 6, 2-я 14, а квадрат б1/*. Доказатель­ ство очевидно 2).

КНИГА IV

1. Данное число разложить на два куба, сумма сторон которых задана.

Пусть требуется разложить число 370 на два куба, сумма сторон которых 10.

Положим сторону 1-го куба х + 5, т. е. больше поло­ вины суммы сторон. Тогда сторона 2-го куба будет 5 — х; следовательно, сумма самих кубов будет ЗОж2 + 250; она равняется заданному числу 370; и х получается рав­ ным 2.

К подстановкам. Сторона 1-го куба 7, 2-го 3, а сами кубы — 1-й 343, а 2-й 27.

2*. Найти такие два числа, чтобы была задана их раз­ ность, а также и разность их кубов.

Пусть разность этих чисел будет 6, а разность их кубов 504.Положим, что сторона большего куба будет х 3, а меньшего х — 3; тогда разность их сторон должна оста­ ваться равной 6. Кроме того, разность самих кубов равна

рЗдесь имеется лакуна в тексте, которую можно восполнить так: і-н часть 2х + 3, 2-я 4.Т + 8. Приравняв их сумму 6х + 11 данному числу 20, на­ ходим X — 1 У*. (JTptui. перев.)

’) Это другое решепие задачи II,4. (Прим, перец.)

90

Ар и ф м е т и к а к н и г а іѵ

504. Но разность обоих кубов будет 18а;2 + 54, это же равно 504; и х получается равным 5.

К подстановкам. Сторона большего куба будет 8, а меньшего 2. Сами же кубы будут один 512, а другой 8, и доказательство очевидно.

3. Квадрат и его сторону помножить на одно и то же число и сделать, чтобы эта сторона давала куб, а квад­ рат — сторону этого куба.

Положим, что квадрат будет а;2 и, следовательно, его сторона X, а множитель был бы какой-нибудь арифметичной х) частью, взятой кубическое число раз; пусть он бу­ дет 8/х. Умножая это на ж2, получим 8а;, а умножая на х, получим 8.

Мы же хотим, чтобы 8а; было стороной этого куба, следовательно, 8а; должно равняться 2; и х получается равным 2/8, а множитель — 32.

Если мы не хотим иметь дробных долей, то возьмем 8х равным 2; и а: будет Ѵ4 2).

Кподстановкам. Квадрат будет г!16, сторона 1U, мно­ житель 32. Если же х = 1/^, то арифметичная часть 1/а; будет 4. И доказательство очевидно.

4. К квадрату и стороне прибавить одно и то же такое число, чтобы получились опять квадрат и сторона.

Пусть квадрат будет а;2 и, следовательно, сторона х -, прибавляемое же число будет а;2, взятое столько раз, что­ бы вместе с а;2 оно образовало квадрат. Пусть оно будет За;2; если мы приложим его к а;2, то получим квадрат 4а;2, а если к а:, то За; 2 + х; но это должно равняться сто­ роне квадрата 4а; 2, т. е. 2а:; и х получается равным Ѵ3.

Кподстановкам. Квадрат будет Ѵд, сторона г/3, прибав­

ляемое же число 3/9.

5. К квадрату и стороне приложить одно и то же такое число, чтобы получилось то же самое, но в обратном поряд­ ке, т. е. сторона и квадрат.

Пусть квадрат будет а;2, значит, сторона будет х; для того же, чтобы сторона стала квадратом, прибавляемое число примем х 2, взятое квадратное число раз, минус х — сторона квадрата. Пусть оно будет 4а;2 — а;. <Если мы при­

91

Д И О Ф А Н Т

последнее должно равняться 2х — стороне квадрата, получаемого после прибавления, и х оказывается рав­ ным 3/5.

К подстановкам. Квадрат будет 9/25, сторона 3/5, а прибавляемое число 21/25.

6. К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой квадрат, чтобы получилось то же самое, т. е. куб и квадрат.

Пусть теперь будут куб Xя и квадрат х2, взятый неко­ торое квадратичное число раз, например, 9а;2.

И так как мы хотим, чтобы некоторый квадрат вместе с Эя2 образовал тоже квадрат, то берем два числа, произ­ ведение которых равно 9; пусть это будут 1 и 9. Если от 9 я отниму единицу и половину остатка умножу на себя, то я получу 16; прикладывая к нему 9, я образую квад­ рат х).

Теперь в качестве прибавляемого квадрата я беру 16а?; если я его прибавлю к 9а?, то получится квадрат; если же я прибавлю его к а;3, то получится ха -|- 16л?, что должно быть равно кубу. Пусть этот куб будет 8а;3; тогда получится, что х = 16/7.

Кподстановкам. Куб будет 4096/343, квадрат 2304/49,

априбавляемый к ним квадрат 4096/49.

7. К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой квадрат, чтобы получилось то же самое, но в обратном по­ рядке.

Пусть куб будет Х г, квадрат Х 2, а прибавляемый к ним квадрат Х 3 2).

Так как я хочу, чтобы прибавляемый квадрат Х 3 обра­ зовал вместе с Х 2некоторый куб, то пусть он образует куб Х х. Таким образом, Х г превосходит Х 2на Х 3, т. е. на квад­ рат, ибо Х 3 есть квадрат. Если же я возьму два какихнибудь числа, то их квадраты, к которым прилагается или из которых вычитается удвоенное их произведение, дадут квадрат. Итак, я должен, взявши два числа, положить сумму их квадратов равной Х и так как .Х\ равен сумме двух квадратов, именно искомого и прибавляемого: Х3

92