Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

разует квадрат, то у меня [все] свелось к нахождению двух [вспомогательных] квадратов, сумма которых вместе с од­ ним из них дает квадрат, [вследствие того, что два квадра­

93

ДйоФанТ

Если а;прибавить к 2х, то получится За:, а если к 8а;3, то получится 8а;3 -f- X; это равно 27а;3. Вычтем 8а;3, останет­ ся 19а;3, равное х. Сократим на х; значит, 19а;2 = 1.

Но единица является квадратом; если бы 19 — количе­ ство а;2 — было бы квадратом, то уравнение решилось бы. Но 19а;2 получилось как разность между 27ж3 и 8а;3; и 27Xs есть куб на За;, а 8а;3 — куб на 2а;. Таким образом, 19 получилось как разность между кубом на За; и кубом на 2а;. Но 2а; взято по нашему предположению, а 3 всегда на единицу больше количества взятых сторон а;; таким образом, я пришел к отысканию двух чисел, отличающихся между собой на единицу и таких, чтобы разность построенных на них кубов была бы квадратом.

Пусть одно из них будет х, а другое х + 1; и разность построенных на них кубов За;2 + За; + 1 ; пусть это равно квадрату на стороне 1 — 2а;; и х получается равным 7.

К подстановкам. Одно из них будет 7, а другое 8. Теперь я возвращаюсь к первоначальной задаче и по­

лагаю прибавляемое равным х и сторону куба 7х\ тогда куб будет 343а;3. Прибавляя а;к каждому из них, получаем

априбавляемое одна тринадцатая.

9.К кубу и стороне приложить одно и то же такое

число, чтобы получилось то же самое, но в обратном по­ рядке.

Пусть будет куб а;3, взятый какое-нибудь кубическое число раз; пусть оно будет 8, следовательно, сторона куба будет 2а;; <прибавляемое же число, чтобы сделать сторону кубом, будет а;3, взятый кубическое число раз, минус 2а;>, т. е. минус количество кубических единиц в стороне куба; пусть оно будет 27а;3 — 2а;.

Если мы прибавим это к 2а;, то получим 27а:3, и это бу­ дет куб на стороне За;, а если прибавить к 8а;3, то полу­ чится 35а;3 — 2а;.

Мы хотим, чтобы это было стороной куба для полу­ ченного 27а;3, иными словами, За;; следовательно, 35а;3 — —2а; = За;; получается, что 5ж равняется 35а;3; сократив на X , находим, что 35а;2 равио 5.

94

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И Г А IV

Их ие рационально х), так как отношение одного вида

кдругому не будет отношением двух квадратных чисел; но 35, количество х%представляет сумму двух кубов, 27 и 8,

а5 получается из сложения их сторон; значит, мне предстоит найти два куба, сумма которых к сумме их сторон имеет отношение квадратного числа к квадрат­ ному числу.

Пусть сумма их сторон равняется некоторому числу единиц, например 2. Положим, что сторона первого куба

имело отношение квадратного числа к квадратному чис­ лу. Но 2 представляет удвоенный квадрат; следовательно, и 6а;2 + 8 — 12а; будет тоже удвоенным квадратом, и Ѵ2 их будет равняться квадрату, т. е. За;2 + 4—6а; = Q ; пусть это будет квадратна 2—4а;. И х получается равным

10/13.

К подстановкам. Одна сторона будет 10/13, а другая 16/13. Устраняю 13-е доли и беру половины. Стороны са­ мих кубов будут одна 5, другая 8.

Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю сто­ рону куба равной 5а;; тогда куб будет 125а;3 и прибавляе­ мое — куб [без стороны], т. е. 512а;3 — 5а;. Если это при­ бавить к 5а;, то получится куб, а если к 125а:3, то 637а;8 — —5а:. Мы хотим, чтобы это было стороной куба для 512а;3.

Таким образом, 8а: равняется 637а;3 — 5а; и а; получает­ ся равным одной (седьмой).

К подстановкам. Куб будет 125/343, сторона 5/7, а прибавляемое число 267/343.

10. Найти два куба, сумма которых равна сумме их сторон.

Пусть выраженные в х стороны кубов будут: 1-я 2а;, 2-я За;; тогда сумма кубов будет 35а;3, что должно равнять­ ся сумме сторон 5х. Сокращая на х, получаем 35а^ = 5, и X не рационально.

Но 35а;2 представляет сумму двух кубов, 8 и 27, а 5а; — сумму их сторон. Мне приходится искать два куба, кото­ рые, будучи сложены и разделены на сумму их сторон, дают квадратное частное.)*

*) оо ріуго$ (Д р іш . ред.)

95

ДИ О Ф А Н Т

Это же было сделано выше [задача 9], и стороны кубов будут: 1-я 8, 2-я 5. Теперь я возвращаюсь к первоначаль­ ной задаче и беру стороны кубов: 1-ю 8а;, 2-ю 5т; сумма ку­ бов будет 637т8. Она должна быть равна [сумме] сторон, т. е. 13т; п т получается равным одной {седьмой).

К подстановкам. Сторона 1-го куба 5/7, 2-го 8/7. Сами же кубы — один 125/343, другой 512/343.

11*. Найти два куба, разность которых будет равна раз­ ности их сторон.

Пусть их стороны будут: 1-я 2т, 2-я Зт. Разность по­ строенных на них кубов равна 19т3, а разность сторон т. Значит, т равен 19т3.

Опять т не рационально, так как один вид к другому не находится в отношении квадрата к квадрату. Мне при­ ходится искать два куба таких, чтобы их разность к раз­ ности сторон имела отношение, как квадратное число к квадратному числу.

Пусть стороны кубов будут: 1-я т, 2-я же т + 1 , чтобы их разность была квадратом, т. е. 1. Так как сторона 1-го

квадратное число к квадратному числу; тогда их произ­ ведение должно равняться квадрату. Но их произведение

ру стороны кубов: 1-ю 1х, 2-ю 8ж. Разность их будет х, а разность построенных на них кубов 169ж3.

Следовательно, 169а;3 равно ж; и ж получается равным одной (тринадцатой).

К Подстановкам. Стороны кубов будут: у одного 7,

удругого 8 [тринадцатых].

12.Найти два таких числа, чтобы куб большего числ вместе с меньшим числом равнялся кубу меньшего, сло­ женному с большим числом.

Пусть одно будет 2ж, а другое Зж. И куб большего числа вместе с меньшим будет 27ж3 + 2ж, а куб меньшего числа вместе с большим будет Эж2 -f Зж. Таким образом, 8ж3 + Зж равняется 27ж3 + 2ж. Сократив на ж, получаем, что ІЭж3 равно единице, и ж не рационально.

96