Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I I

сами представляют обобщение задач ІІ22 и ІІ23 на случай больщего числа неизвестных.

Дальнейшие задачи книги III эквивалентны системам п урав­

Диофант подбирает рациональные выражения для неизвестных через одно неизвестное и параметры так, чтобы все условия, кроме одного, были удовлетворены, а последнее условие позволило бы выразить неизвестное в виде рациональной функции параметров. Если это сделать не удается, то Диофант обращает в тождества все уравнения, кроме двух, так, чтобы эти последние условия своди­ лись к «двойному равенству», которое решается методами, изло­ женными в книге II.

рии чисел. Она послужила отправным пунктом для теоретико-чи­ словых изысканий Ферма (см. комментарии к задаче 1111в).

В этой книге Диофант неоднократно проводит сначала анализ аадачи, чтобы установить, какие условия надо наложить на пара­ метры, а потом решает ее. Трудность понимания этих мест состоит в том, что ход решения Диофанта чисто алгебраический, но опери­

рует он при этом не с буквами, а с параметрами, выраженными конкретными числами. Решение задач IIІю и Ш и показывает, что Диофант действительно смотрпт на параметры как на произволь­ ные величины. В обеих задачах значение параметров случайно выб­ рано так, что решение существует. Диофант не удовлетворяется этим и ищет, каким общим условиям должны удовлетворять эти параметры для того, чтобы уравнения были разрешимы. Для нас ход его мыслей становится более понятным, если сразу же обозна­ чить произвольные параметры буквами, что мы и сделаем в наших комментариях.

Поскольку обычный метод порождения системы уравнений со­ стоит в том, что условие, записанное в первом уравнении, видо­ изменено в последующих! путем циклической перестановки неизве­

стных, то мы будем в дальнейшем применять сокращенные обозна­ чения. Например, если система имеет вид

207

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I I

и ІІ26, которые приводились к аналогичным системам от четырех неизвестных. Диофант применяет здесь те же самые методы, пока'

которая определяет А 3 в Q7. Диофант дает сначала более частное

решение, при котором неизвестные выражаются как функции од­ ного х) параметра, а потом — чрезвычайно изящное общее реше­ ние. Оно основано, по-видимому, на следующем соображении: если сложить левые части трех последних уравнений, то получится ле­ вая часть первого; отсюда получается условие для правых частей

Поэтому Диофант выбирает такие три квадрата, сумма которых является квадратом:

») Впрочем, это решение легко обобщить так, чтобы неизвестные выража­ лись рациональными функциями от двух параметров.

209

К О М М Е Н Т А Р И И

Это он мог сделать методом задачи Пю, а именно найти два таких квадрата Z2 и У®, что

Получается определенная система трех линейных уравнении от трех неизвестных, которую можно решить по способу задачи П3.

и все четыре условия удовлетворены. При этом неизвестные выра­ жены как рациональные функции трех параметров.

левые части трех послѳдвнх уравнений, то получим удвоенную ле­

W 2 — V 2 = V 2 — I P

210