Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А Ш

(эта задача является частным случаем задачи ІІі0 и решается ана­

где сами U, V, W являются рациональными функциями двух пара­

метров.

7.Задачи Шв и ІІІ9 эквивалентны системам

воначальной системы, которая после подстановки выражений для У1, У2, У3, У4 обращается в определенную совместную линейную

систему.

Задача П Ь решается аналогично.

К задачам Ills и ПЬ Ферма сделал следующие замечания: К задаче П Ь (№ IV):

«Я указал в моем примечании к задаче Ѵ30 [в нашем издании Ѵз? — И . Б .], как найти четыре такие числа, чтобы

сумма любых двух из них, увеличенная на заданное число, давала бы квадрат».

К задаче П Ь (№ V):

«Мое примечание к Ѵзі [у нас V2g — И . Б.] показывает,

как можно найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух ий них, уменьшенная на заданное число, была бы квад-

•ратон».

211

К О М М Е Н Т А Р И И

ставляя полученные значения для неизвестных в третье уравнение, найдем

(*) (В2 - а)(б2 - а)х2 + а = У*.

Хотя при выбранных Диофантом значениях параметров б и в последнее уравнение принимает вид

52*2 + 12 = У®,

т. е. является разрешимым (у него имеется рациональное решение X = 1, У3 = 8), однако Диофант как будто не замечает этого.

Почему? Мы полагаем, что здесь дело в том, что Диофант смотрел на в и б как на буквенные коэффициенты и искал условия, которые

нужно наложить на них, чтобы уравнение (*) было разрешимо не только при некотором случайном выборе в и б, но для всех значе­

ний их, принадлежащих некоторому классу, определенному этими условиями. Дальнейшие усилия Диофанта и направлены для на­ хождения этпх общих условий. Он замечает, что полученное урав­

нение будет иметь рациональные решения при условии, что

Диофант замечает, что легче всего удовлетворить этим требованиям, если взять £/■ = □ , V =

212

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А Ш

9.Задачи IIIis, ІШз эквивалентны] системам

впервые сводится к «двойному равенству». Проанализируем реше­ ние задачи ПЬз. Диофант выбирает в качестве У2 произвольный

213

К О М М Е Н Т А Р И И

((у2 + і)х + 2у3 = У2,

\(у- + 1)х + 2у = У3.

Получаем первый тип «двойного равенства», которое Диофант ре­ шает тем же способом, что и в задачах ІІц — ІІіз-

Задача ІІІіз решается аналогично, однако здесь Диофант приходит к «двойному равенству» нового вида. А именно, полагая

он обращает первое уравнение в тождество, а второе и третье уравнения дают

Вычитая одно уравнение пз другого и полагая

Г* + Уз = V (ß2* + 1),

Уз — Уз = —

получим

У2== ß2 + Т3 (ß2* + l)

2т

Чтобы после подстановки в уравнение уничтожался член с х1

примем

4ß2T2 = T4ß4, т. е. у2 = А .

В результате получим

( 4 + ß 4)2 Г 1

8ß2(ß‘ - 6 ) L 4

т. е. решение будет зависеть только от одного параметра. Таким образом, из многообразия А 3 выделяется рациональная кривая.

10. Метод решения задачи Н іи , которая определяет А 3 в Q

можно обобщить, если положить

Тогда

/с2— 16ß4 33aß2 + 8aA '

214

А Р И Ф М Е Т И К А К Й И Р А I I I

каждая из которых определяет А 3 в Q®.

последних дают «двойное равенство», которое решается обычным способом. Диофант получает х = 4 (ß2 + ß + 1), т. е. неизвестные

выражаются как рациональные функции от одного параметра. Диофант, усмотрев, вероятно, что первое решение носит част­

ный характер, приводит второе, более общее решение: он полагает Хі — X , Х 2 = у (у = 3 ) , Уі = е (s = 5); тогда из первого урав­

нения

Обозначим Х 3 — t (у Диофанта Х 3 обозначается тем же символом,

что и первое неизвестное); тогда второе и третье уравнения, после соответствующих подстановок, дают «двойное равенство»

( т + і ) * + т = у г ,

Для разрешимости этой системы в рациональных числах Диофант требует, чтобы коэффициенты при неизвестном относились друг к другу, как квадраты (это условие будет достаточным), т. е.

215