Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

К О М М Е Н Т А Р И И

Уі = ßz — у (у = 3), получим

T » - ß * + l '

2ß (ß + T)

После подстаиоіікм новых значений неизвестных во второе и тре­ тье уравнения получим «двойное равенство», которое разрешается методами задач П а — ІІіз. В результате неизвестные выражаются через рациональные функции трех параметров.

Задачу 16 Диофант решает тем же способом, который был при­ менен при втором решении задачи ]ІІі5.

Замечание Ферма к задаче Ш и (№ VI):

«У Диофанта имеется другая задача, Ѵ5, посвященная

двух из них, увеличенное па сумму этих же квадратов, было бы квадратом.

Мы можем дать бесконечно много решений этого вопро­ са. Вот, например, одпо из них: три квадрата

удовлетворяют предложенному условию.

Но можно пойти дальше и распространить вопрос Дио­ фанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений:

Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное па сумму этих же чисел, давало квадрат.

Сначала найдем, согласно Ѵ5, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, пайдепные Диофантом:

Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел на­ шей задачи; пусть х будет четвертым; образуя его произведе­

ния с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих множителей, получим

216

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I I

Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в при­

Дпофант не приводит этих формул, но говорит как о чем-то хоро­ шо известном об «образовании прямоугольного треугольника из двух чисел» и пользуется ими, когда составляет треугольники из чисел 7 и 4 и из чисел 8 и 1.

Заметив, что если я, Ь, с — стороны прямоугольного треуголь­

квадратов четырьмя различными способами. Для этого он берет два

прямоугольных треугольника «в наименьших числах» (т. е. стороны которых целые и не имеют общего делителя): (3, 4, 5) н (5, 12, 13) — и утверждает, что произведение их гипотенуз, т. е. 65, будет

217

К О М М Е Н Т А Р И И

представляться суммой двух квадратов двумя различными спосо­

которое является первым известным в истории математики приме­ ром композиции квадратичных форм. Вероятно, Диофант знал эту формулу. Это можно заключить из его слов, что число 65, «по своей природе», допускает представление в виде суммы двух квадратов «двумя способами», потому, что «65 получается от произведения

13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата». Он знал также, что 65 является гипотенузой четырех прямо­

угольных треугольников с целочисленными сторонами, иначе го­ воря, что квадрат числа, представимого суммой двух квадратов двумя различными способами, сам представим в таком же виде четырьмя различными способами.

Но знал ли Диофант, что каждое простое число вида 4л + 1 представимо суммой двух квадратов и притом единственным спо­ собом? Мы вернемся к этому вопросу при разборе задачи Ѵв, пока же скажем только, что именно задача ІІІі0навела Баше, а вслед за ним и Ферма на мысль об исследовании представимости целых чисел и, в частности, простых в виде суммы двух квадратов. Свои результаты Ферма изложил в примечании к комментарию Баше, относящемуся к этой задаче, в котором ставился вопрос о том, сколькими различными способами можно представить заданное целое число суммою двух квадратов.

Вот это примечание Ферма (№ VII):

«Простое число, которое превосходит иа единицу кратное четырех, только один раз является гипотенузой прямоуголь­ ного треугольника, его квадрат — два раза, его куб — три раза, его биквадрат — четыре и т. д. до бесконечности.

Это же простое число и его квадрат только одним спо­ собом представляются суммой двух квадратов; его куб и его биквадрат — двумя, его' квадрато-куб и кубо-куб — четы­ рьмя п т. д. до бесконечности.

Если простое число, представимое суммой двух квад­ ратов, умножается на другое простое, также представимое суммой двух квадратов, то их произведение дважды пред-

*) Хотя Диофант пе оговаривает этого, дело идет о представимости цело численными квадратами. Ведь Диофанту было хорошо известно, что если число представимо суммой двух рациональных квадратов, то оно представимо в таком же виде бесконечным числом способов (см. задачу Н?),

218

Арифметика книга ш

ставимо суммой двух квадратов; если множителем будет квадрат второго простого числа, то произведение будет триж­ ды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет куб второго простого числа, то произведение будет представимо суммой двух квадратов четырьмя способами и т. д. до бесконечности.

Из этого легко определить, сколькими способами задан­ ное число представляется гипотенузой прямоугольного тре­ угольника.

Надо взять все простые числа, превосходящие на еди­ ницу кратное четырех, содержащиеся в данном числе, нап­ ример 5, 13, 17. Если данное число содержит степени этих простых множителей, то надо взять эти степени вместо про­ стых множителей: пусть, например, данное число содержит

5 в 'кубе, 13 в квадрате и 17 как простую сторону. Тогда надо взять показатели всех множителей, а имен­

но для числа 5 показатель 3, присущий кубу, для числа 13 показатель 2, присущий квадрату, а для числа 17 просто единицу.

Надо упорядочить как угодно показатели, о которых шла речь, например, пусть порядок таков: 3, 2, 1.

Надо умножить первый на второй, удвоить и прибавить сумму первого и второго, будет 17. Затем умножить 17 на третий показатель, удвоить п сложить с суммой 17 и треть­ его, будет 52. Тогда данное число будет гипотенузой 52 раз­ личных прямоугольных треугольников. Метод останется неизменным, каково бы ни было число множителей и их степени.

Другие простые числа, которые не превосходят кратное четырех на единицу, так же как их степени, ничего не до­ бавляют к искомому числу и ничего от него не убавляют.

Найти число, которое будет гипотенузой столько раз, сколько это желательно.

Пусть надо найти число, которое представлялось бы гипотенузой семью различными способами.

Данное число 7 удваиваем, будет 14. Прибавляем еди­ ницу, будет 15. Берем все простые делители 15, будет 3 и 5. Вычитаем из каждого единицу и берем половину остатков, получим 1 и 2. Возьмем теперь столько различных простых множителей, сколько имеется чисел, а именно два, и перем­ ножим между собой эти простые множители, придав им по­ казатели 1 и 2, именно один на квадрат другого; так получим

219

КОММЕНТАРИЙ

число, удовлетворяющее условию, лишь бы только простые числа на единицу превосходили кратное четырех.

На основании этого легко иайтн наименьшее число, ко­ торое представлялось бы гипотенузой столькими способами, сколько это желательно.

Н айти число, которое представлялось бы суммою двух квадратов столькими способами, сколько это желательно.

Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20, берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из каждого но единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять три простых числа, каждое из которых превосходит на еди­ ницу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17; взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4), умножим на остальные два и получим, таким образом, ис­ комое число.

На основании этого легко найти наименьшее число, ко­ торое представимо суммой двух квадратов столько раз, сколь­ ко это желательно.

С другой стороны, вот метод, чтобы узиать, сколькими способами заданное число может бить составлено из двух квадратов'.

Пусть дано число 325. Его простыми делителями, кото­ рые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13, последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем по­ казатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5, прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит, столькими способами данное число составляется пз двух квадратов.

Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то процедура будет такова. Произведение двух первых, сло­ женное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибав­ ляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, нако­ нец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столь­ кими способами предложенное число будет составляться нз двух квадратов.

Если последнее число, от которого нужно взять поло­ вину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и взять половину остатка.

Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое число, сумма которого с заданным числом будет, квадратом и которое, с другой стороны, будет гипотенузой стольких прямоугольных треугольников, сколько это желательно.

220

Арифметика книга іѵ

Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении 2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется и бесконечно много других, как 3362 и т. д.».

чисел. Опа получила название первого дополнения к закону вза­ имности.

14. Задачи 11120 и III« совпадают соответственно с задачами Ills и 11і,і. Решения, предложенные в книге III, существенно пе от­ личаются от предыдущих.

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ IV

В этой книге появляются уравнения третьей и более высоких степеней, как определенные, так и неопределенные. Кривые, по­ верхности и многообразия размерности ^ 3, которые встречаются здесь, уже, вообще говоря, не рациональны, неизвестные уже не могут быть выражены как рациональные функции от соответству­ ющего числа параметров. Поэтому Диофант для нахождения рацио­ нальных решений применяет здесь существенно новые методы.

Задачи IVj 2, ІѴ18 и ІѴ31_да являются определенными. Задачи 1Ѵ3_14 и ІѴ26 эквивалентны системам уравнений, задающих рацио­ нальные многообразия. Задачи ІѴ«, 1Ѵ26_28 сводятся к нахожде­

нию рациональных точек на эллиптической кривой (т. е. кривой

ния материала предыдущих книг, другие представляют самостоя­ тельный интерес. Так, например, в задачах ІѴ2в и ІѴ30 Диофант

пользуется тем, что каждое целое число можно представить в виде

221