Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

суммы четырех квадратов, из чего можно заключить, что он знал доказательство этого предложения (недоказанными предложе­ ниями греческие математики никогда не пользовались). Инте­ ресны также леммы этой книги (их две) и задача 1VW, в кото­ рых решение требуется найти «в общем виде», т. е. найти общие формулы для решений.

1. Задачи ІѴЬЗ определенные. Они сводятся к квадратны уравнениям, причем коэффициенты подобраны так, что корни ра­ циональны.

В своем издании «Арифметики» Диофанта Баше де Мезириак присоединил к этим задачам еще пить задач, первые три из которых

Во всех трех случаях для нахождения рациональных решений Баше применяет «метод касательной», который у Диофанта встре­ чается впервые в задаче ІѴ21. Так, например, для решения первой из задач Баше делает подстановку

Положив к = ЪЧа3 (подробнее об этом методе см. в комментарии к

1Ѵ21), он находит

Для того чтобы решения были положительными, Баше вводит ог­

«Повторяя операцию, легко можно избавиться от усло­ вия [т. е. от ограничения.— И . Б.] и решить общим образом

как этот вопрос, так и следующие, чего не смогли сделать ни Баше, ни сам Виет.

Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два дру­ гих куба, сумма которых была бы равна разности данных.

222

АРИФМЕТИКА КНИГА XV

разность их равна разности двух данных кубов; но, после того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоен­ ный меньший не превосходит большего, их можно взять в качестве данных задачи 1.

Таким образом, мы получим два данных куба и будем искать два других, сумма которых равна разности данных; так как условие, указанное для задачи 1, выполнено, то решение можно получить без затруднений. Но разность ку­ бов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не мешает построить два куба, сумма которых равна разности данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше.

Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов, удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно, после того как мы нашли два куба, сумма которых равна разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два других, разность которых равна сумме наших двух кубов, т. е. разности первоначально данных; от разности мы перей­ дем к сумме и так до бесконечности».

Относительно задач 2 и 3 Баше де Мезириака Ферма замеча­ ет (№ IX):

«Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.

Более того, на основании вышеизложенного мы благо­ получно решим задачу, неизвестную Баше:

Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба,

и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше.

Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343.

Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение.

Если мы хотим получить второе решение, то возвра­ щаемся к задаче 2 и т. д.

Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3. незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба, разность которых равна разности данных.

223

.сЗ + (/^Ѵ Ѵ - = уз.

Это уравнение определяет рациональную кривую третьего порядка, Дпофант полагает = ßx (ß = 2) и получает

Легко проверить, что р, д, ß в свою очередь рационально выража­ ются через Х г, Х 2, Х 3, Y x, У„. Таким образом, установлено, что

рассматриваемое многообразпе рационально.

4. Задача IV7 по своей постановке эквивалентна системе

224

Таким образом, неизвестные выражаются в виде рациональных функций от двух параметров.

и определяет пространственную кривую, Диофант полагает Х 2 = х,

нальным. Диофант замечает, что уравнение будет иметь решение,

если

Таким образом, неизвестные выражаются в виде рациональных функций параметра.

6. Задача ІѴ9 сводится к системе

(Z3 + Х 2 = У,

U l + ^2 = П

которая определяет пространственпую кривую. Диофант полагает АД = ßx (ß = 2), У = ух {у — 3),- тогда Х 3 = уяз? — ßx и второе

уравнение обращается в тождество. Из первого получаем

5 "

X

35_

Диофант отмечает, что при выбранных зиачепнях ß и у неиз­

вестное, т. е. неизвестное число (ipiftp.öq), «не рационально». Это замечание показывает, что Диофант зиал об иррациональных числах.

Диофант приходит к повои задаче: найти такие два числа и г

и По, чтобы

<7і + Ui _ D

ul + ul

Положив U1 -j- Ho = p, Ui = t (Днофапт обозначает это новое

неизвестное тем же символом, что и первое), ои приходит к урав­ нению

3/- — 3pt + р~ = (Г,

которое решает методом А, т. е. принимает сторону неизвестного квадрата равной р — 6f (р = 2, б = 4).

Определив п Н2, Диофант возвращается к первоначальной задаче и находит Х х, Х 2, У как рациональные функции одного пара­

метра.

7. Решение задачи ІѴ10, которая эквивалентна уравнению

X я -I- У3 = X + У,

сводится к решению предыдущей задачи.

Баше в своем издании «Арифметики» присоединил к этой за­ даче следующую: «Найти два куба, сумма которых находится в за­ данном отношении к сумме их квадратов». Баше предполагает при этом, что отношение будет вида р3 или Ѵз р"-.

226