Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

Ферма заметил по этому поводу (№ XII):

«Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно до­ бавить: „или быть произведением (квадрата) на простое чис­ ло, которое превосходит па единицу кратное трех, или на число, составленное из таких простых чисел“, как 7, 13, 19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение получаются из нашего метода».

9.Решение задачи ІѴ12, эквивалентной уравнению

А3 + У = У3 + X , X > У,

сводится к решению задачи ІѴи .

10.Задача ІѴІЗ эквивалентна системе

+1 = У?,

Диофант полагает Ух = у і + 1 (у = 3), тогда Х г — у*х* + 2уі.

Первое уравнение удовлетворено, и он переходит к третьему. Чтобы обратить его в тождество, он использует соотношение

а — Ь\ 2 _(а -\-Ъ\*

ab

тогда

у 3 __ (Т2 ~Ь 1) х + Зу

Теперь удовлетворены все уравнения, кроме последнего. После соответствующих подстановок оно принимает вид

Ах* + В х + С = У2,

где С = у2. Его униформизацию Диофант производит методом А,

после чего все неизвестные выражаются как рациональные функ­ ции от двух параметров.

11.Задача ІѴи эквивалентна уравнению

вуравнение, получает

У2 = t* + 2at — 2а3.

228

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

после чего все неизвестные оказываются выраженными как рацио­ нальные функции от двух параметров.

12.Задача ІѴ15 является определенной.

13.Задача IV1(j эквивалентна системе

Диофант принимает этот квадрат равным 169а2/2, где / — новое не­ известное. Диофант обозначает его тем же символом, что и старое, отчего могут произойти недоразумения. Если иметь в виду, что / —•

229

ленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего выберем произвольно коэффициент при х и свободный член,

с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квад­ рат; например, пусть опо будет 4х -f- 3.

Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще, чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с пер­

члены равными одному и тому же квадрату.

Тем же методом можно распространить задачу на четыре числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы свободные члены в выражениях для отдельных чисел были квадратами, а это очень легко».

Ко второй:

«Способ рассуждения, который мы применили к преды­ дущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на произвольное число чисел».

14.Задача ІѴы эквивалентна системе

Вэтой задаче появляется в процессе решения неопределенное урав­

Это уравнение определяет гпперэллпптическую кривую рода 2. Для такпх кривых и до спх пор неизвестен общий метод нахождения

Таким образом, на рассматриваемой поверхности выделяется ра­ циональная кривая.

230

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

15. В задаче 1VWтребуется найти «общие выражения» для чи­ сел таких, что

Поскольку коэффициент при х2 является полным квадратом, то его можно было бы решить, положив Y 3 = аух 4 ß. В этом случае

все неизвестные были бы выражены как рациональные функции трех параметров, т. е. мы бы получили общее решение. Одиако Дио­ фант избирает иной путь. Ои ищет частное решение, а именно он подбирает второй параметр так, чтобы левая часть третьего уравне­ ния обратилась в полный квадрат. Это можно сделать, если поло­

Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопреде­ ленным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих

231