Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

чисел, увеличенное на единицу, давало квадрат, т. е. возни­

кает тройное равенство, которое легко решить нашим мето­

дом, так как свободный член каждого из выражений, после

прибавления единицы, становится квадратом».

16.

Результат предыдущей задачи применяется в качестве лем

мы при решении задачи ІѴ20, которая сводится к системе

X i X j

- f l

= □

(*./== 1. 2,

3, 4;

і ф

j).

Чтобы удовлетворить

уравнениям

X i X j + 1

= □

(/'=2, 3, 4), Дио.

фант

полагает

Х і =

х,

Хъ — а2х -|- 2а,

Хз = (а

1)2х + 2 (а + 1),

Х і =

(а +

2)2х ф 2 (а +

2)

(у Диофанта

а =

1).

При

этом

автома­

тически удовлетворяются и уравнения ХзХ* + 1 =

□ ,

ХзХз +

1 = □

(о выполнении последнего у Диофанта пет указания). Остается

удовлетворить уравнению

Х»Х.і +

1 = D ,

что

и

делает Диофант.

Диофант, по существу, показывает, что его методом можно решить

аналогичную задачу для любого числа переменных.

К этой задаче Ферма сделал следующее замечание (№ XVI):

«Следует найти три числа такие, что их произведение

по два, увеличенное на единицу, образует квадрат; пусть,

например,

это числа 3, 1 , 8.

Теперь следует искать четвертое такое, что его произвѳ

дениѳ на каждое из трех найденных будет квадратом после

увеличения на единицу. Пусть это число будет і , тогда

За: -J- 1, X ф

і , 8 х -)- 1

Х 3 -

Z 2 =

У*

Х2 -

Хг =

У|,

Хз -

X , =

У |.

Диофант полагает

Х х =

X , Х 2 =

X ф а 2, Х 8 = X ф а 2 ф ß2.

При этом а и

ß должны

быть выбраны так, чтобы а + ß2 = [^1,

катетов

прямоугольного треугольника,

стороны которого рацио­

нальны,

т. е. положить а =

— г|2, ß =

2|т] (у Диофанта 5 = 2 ,

(X +

а 2)2 =

X (х + а 2 -)- ß2),

откуда

_

(¥-г?У

а«

ß2— а2

(2Р-П)2— — т|2)2 •

Х 1Х 2Х 3 ± Х І =

У?

( 1 = 1 ,

2,3).

В первой из задач Диофант полагает

У-! = X +

а (а =

1),

Х г =

а 2,

тогда

Х гХ 2Х 3 =

х1 +

2ах,

У2 =

* + ß

(ß = 2), тогда

Х 2 =

2 (ß — а)

х +

ß2,

откуда

Хт.Х2Х я _

X2 + 2ях

Х ѣ:

Х і Х г

2а- (ß - а) х + a2ß2 '

Диофант требует, чтобы

1

2а' , т. е.

(ß -

2а )2 =

0, ß =

2а2( ß — а)

a2ß

2а; тогда Хз = -2 - ,

и первые два уравнения удовлетворяются,

2а3

а третье дает

.г2 4- [ 2а

Диофант полагает У3 =

кх и находит

_ 1

4а3+ 1

(где к =

2).

тело из трех чисел

.......................... х1 — 2х,

первое число .........................................

1 ,

второе число.......................................

2х.

прямоугольник на первом и втором, 2х\ из этого

деления

*) Под леммой Диофанта Ферма понимает условие, при котором

х 1 + 2ах

нацело делится на 2а* (ß — а) х + a*ß*.

КОММЕНТАРИИ

получится третье

- X —• 1 ,

которое, сложенное с

телом из

трех, дает

— 1 , что должно раішяться

квадрату.

Кроме того, в силу сделанных предположений нужно,

чтобы значение х превосходило 2; поэтому приравняем квад­

рату, сторона которого равна х

минус произвольное число,

большее двух. Остальное известно».

Решение задачи ІѴ2з Диофант приводит к двойному равенству.

Он полагает Л^А'оЛ'з = ,та +

ах (а =

1), Х х = ах, Y 1 = х и Х 2Х 3 =

=

Л

-f

1, и берет X , =

1,

А'з = — -[-

1. Первое уравнение удовлет-

<х

“

а

воряется, а второе и третье дают двойное равенство

X - + а х

—

1 == У2,

a2 -I- ах — — - 1

Y b

а

•’

Решая его обычным способом, Диофант получает

^ _

1 +

Іба-

1 — 8а (2а2— 1) ’

т.

е.

Х і = ах, Ха = і ,

Хз = — + 1,

а

Уі = *,

У» = * + і , Уз = * - І - ,

4a

4a

п

на

рассматриваемом

многообразии

выделяется рациопальпая

кривая.

19.

Задача ІѴ-п эквивалентна

системе

[Хі + Х 2 =

а,

{

Х гХ г =

У3 -

У,

х _ З(а/2)3_— 1

у =

(я/2)'3

2

Геометрический смысл подстановки У — — х — 1 нетрудно ус­

мотреть. Это прямая, проходящая

и

через точку М г и касательная

к кривой L ' . При этом Диофант находит угловой коэффициент ка­

Действительно, если Fs (X, Y) =

0 — уравнение

кривой третьего

порядка,

на которой лежит точка М ( Х 0,

Y 0),

и X

=

Х 0 -f- t,

Y =

— Y B

kl — уравнение прямой,

проходящей через М, то, решая

совместно эти два уравнения, получим

Р3

( Х 0 +

t,

Y 0 +

ht)= F3( X B, У о) + t A ( X B,

Y 0) +

Ш ( Х 0,

У0)+

■I- і*С(ЛГ0, y 0t к) +

l*D(X0, У„)

= 0.

По

F 3 (Х 0,

У о) =

0; чтобы t было рациональным,

приравниваем

нулю коэффициент при t:

откуда

А ( ЛГ0, Уо) + к В ( Х 0, У„) = 0,

dFз

к = — _ (АЛ

дХ

w

- m

В ^

mens d’algèbre, trad, d’allemand, 1796, т. II,

§ 112).

И далее:

«Мы только что говорили, что для того,

чтобы формула

Y 2 = а + ЬХ + сХ2 + d X 3

таким образом,

чтобы второй член

уничтожился, так что

р2Х 2 оставалось

бы сравнить только

с третьим и четвертым

членами формулы, а именно сХ 2 +

dX3, так как это последнее

уравнение, которое можно разделить на X 2,

дает новое зна-

чение X ,

которое будет X =

п2 .

я

§ 117).

1—_ — » (там же,

d

20.

Задача

ІѴ26 эквивалентна системе

ГХі +

Х 2 + Х 3 =

а,

I

Х , Х 2Х 3 =

[2 ( Х 3 -

ЙД)]3,

ЙГі <

< Х 3,

которая

определяет пространственную

кривую.

Диофант

берет

а = 4

и

полагает Х 3 — Х г = х,

Х х =

ßx (ß = 2),

тогда

Х 3 —

= (ß

1 ) X. Но Х 1Х 2Х 3 = 8х“, значит,

Х2 =

8

X .

ß ( ß + 1 )