Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

которое определяет интервал возможных значений параметра ß. Диофант решает его так: поскольку

После этого он ищет куб, который был бы больше ß3 + ßa и Два пер­

вых члена которого совпадали бы с ß3 + ß2Диофант берет ^ß + -і-''

и приравнивает ^ß -f- ~ j 3= 8, откуда

Р = |ѵ , Л = * .= •§•*,

и X находится из первого уравнения.

Издатель Диофанта А. Чвалина подсчитал, что ß должно ле­ жать в интервале (1,428; 1,716). Для каждого рационального зна­ чения ß из этого интервала получим свое решение. Диофант выбрал ß = 5/3 = 1,66..., т. ѳ. одно из значений, принадлежащих интер­ валу возможных значений параметра.

21.Задача ІѴи эквивалентна системе

Диофант делает подстановку

Х х = ß3a:, Х 2 = ** - 1, Yx = ßa; (ß = 2 ),

которая обращает первое уравнение в тождество, а второе прини­ мает вид

ß3z3 -f ж3 - ß3a: - 1 = У®.

При фиксированном ß это уравнение представляет эллиптическую кривую L на плоскости (ж, У2). Диофант полагает

У2 = ßa: — 1

и получает

т. e. новую рациональную точку кривой L.

237

КОММЕНТАРИЙ

Нетрудно усмотреть геометрический смысл подстановки Дио­ фанта. Для этого запишем уравнение кривой L в однородных коор­ динатах (X, У, U):

ß3X 3 + X~U - ß3X f/2 — U3 = У3.

Эта кривая имеет две рациональные точки: конечную (0, —1, 1) и бесконечно удаленную (1, ß, 0). Прямая, проходящая через эти две точки, будет иметь уравнение

ßX — U = У,

или, возвращаясь к аффинным координатам, ß.r — 1 =Уг.

Итак, здесь применен «метод секущей», по для случая, когда

До недавнего времени по­ лагали, что методы касатель­ ной и секущей получили гео­ метрическую интерпретацию только в XIX веке. Однако не­ давно Д. Т. Уайтсайд обнару­

жил такую интерпретацию в бумагах Ньютона. Мы приводим здесь соответствующий отрывок:

«Если уравнение достигает трех измерений н существуют три рациональных случая [т. е. имеются три рациональные точки.— И. !?.], не составляющие арифметической прогрес­

238

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

(см. рис. 3) (The MaLhemalical Papers of Isaac Newlen, ed.

D.T. Whiteside, t. IV, Cambridge, 1971, s. 112—114).

22.Задача IV27 эквивалентна системе

<XiX2 - X x = уз,

І В Д - х л = У®.

Диофант пытается решить ее тем же методом, что и задачу ІѴ»о. Он полагает

Х г = ß3x (ß = 2), Х 2 = я2 + 1, тогда Y x = ßi,

первое уравнение обращается в тождество, а второе принимает вид

Диофант утверждает, что левую часть уравнения (*) невозможно преобразовать в куб. При этом он пмеет в виду «невозможно методом предыдущей задачи». Действительно, если мы положим У2 = ßz —

— 1 , то получим

Р3 - ß 2

Но обе эти подстановки отвечают совершенно иному методу — ме­ тоду касательной, который был применен Диофіантом в задаче ІѴм. Желая воспользоваться методом задачи ІѴгз, т. е. методом секущей, Диофант меняет первоначальную подстановку. А именно он по­ лагает Х 1 = ß3x + 1, Х 2 = я2, тогда У2 = ßz, после чего второе

уравнение удовлетворяется, а первое принимает вид

ß3z3 + я2 — ß3x- - 1 = У3.

Теперь подстановка Ух = ßz — 1 приводит к дели:

Р3 + ß2

х— Р 1 + 3ß2 •

23.Задача ІѴаз эквивалентна спстеме

ХгХ 2 -1- (X, -I- Х 2) = У®,

239

КОММЕНТАРИИ

Вычитая второе уравнение из первого, Диофант находит

Чтобы корни были рациональны, необходимо и достаточно выпол­ нение условия

т. е., как и в предыдущих трех задачах, приходит к эллиптической кривой, координаты точек которой нельзя выразить как рацио­ нальные функции параметра. На этой кривой лежит рациональная точка, а именно (0; 1 ), поэтому можно найти еще одну рациональную

точку. Для этого Диофант применяет новую подстановку, он по­ лагает сторону неизвестного квадрата равной Зх2 — 6х -|- 1 и по­

лучает X = 9/8.

Мы вернемся еще к этому новому методу Диофанта, а сейчас заметим только, что подстановку Диофанта, с помощью которой он свел задачу к уравнению (*), можно обобщить, положив

У х — X —(— GC, У д — X ---- ССг

Тогда мы получим, как и в предыдущих задачах, эллиптическую кривую, коэффициенты которой зависят от параметра (или, если

фициенты подобрали так, чтобы в результирующем уравнении унич­ тожались члены с X4, X и свободный член. Тогда х = 9/(8а2).

Метод Диофанта, заключающийся в том, что через рациональ­ ную точку эллиптической кривой четвертого порядка проводится не

240