Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

прямая, а парабола, на которую наложены те или иные условия, также был замечен Ферма и подробно описан де Бильи в его «Новом искусстве» («Inventum novum»; этот трактат, а также его перевод на

«Но имеется, как мы уже говорили, еще и другой способ решения этой формулы: он состоит в том, что сначала пред­ полагают, как и раньше, что корень равен / + р Х + gX2, и затем определяют р таким образом, что уничтожаются чет­

вертые члены; это можно сделать, полагая в основном урав-

d

нении d = 2gp или р = ~2g~ • так какі кроме того, первые и

последние члены также уничтожаются, то остальные члены можно будет разделить на X , и получим уравнение

Ъ -}- сХ — 2/р -ф* 2f g X 4- р 2Х ,

которое дает

Ь - 2/р

А' == 2

fg + р2 — с

(там же, § 135).

241

КОММЕНТАРИИ

24.Второе решение задачи ІѴав состоит в том, что путем под

становки A'j = .г-2 — л.-, Л'., = X первое уравнение обращается в тож­

т. е. на исследуемой поверхности выделяется рациональная кривая. 25. Задачи ІѴзд п ІѴ30эквивалентны соответствеипо уравнениям

Диофапт полагает в первом случае я = 12, а во втором а — 4 и в

обоих случаях дополняет левые части до суммы четырех квадра­ тов, после чего правые части, которые примут вид а -j- 1 , он пред­

ставляет в виде суммы четырех рациональных квадратов.

Диофант не налагает никаких дополнительных условий на чи­ сло а, откуда можно заключить, что он знал о том, что любое целое

число представимо в виде четырех рациональных квадратов. Однако в обоих случаях а выбрано так, что я -j- 1 является простым числом вида Ап -А 1. Диофант представляет его в виде суммы двух квадра­

тов, каждый из которых он вновь раскладывает на сумму двух ра­ циональных квадратов.

Баше заметил, что всякое число является либо квадратом, либо суммой двух, трех ллн четырех целочнелеппых квадратов. По-ви- дпмому, ой пришел к этому предложению чисто эмпирически, ни­ каких попыток доказать его он но сделал.

Ферма добавил к этому замечанию Баше следующее (№ XVIII): «Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наи­ более общее предложение, а именно: каждое число является либо треугольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квад­ ратов; либо пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех пли пяти пятиугольных, и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных пли любых многоугольных чисел; это чудесное и общее предложение может быть выска­

зано, очевидно, для любого числа углов.

Здесь невозможно дать его доказательства, которое за­ висит от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о числах; мы намерены посвятить этому предмету целую

242

А Р И Ф М Е Т И К А К і-ІЙ ГА IV

книгу и продвинуть удивительным образом ату часть Ариф­ метики за пределы, известные в древности».

Теоремой, высказанной Баше, занимался впоследствии Л. Эй­ лер, полное доказательство ее получил Ж. Лагранж в 1770 г. Дока­ зательство теоремы Ферма о представимости любого целого числа суммою пе более п п-угольных чисел предложил О. Коши (публи­

которое при выбранных Диофантом значениях параметров не имеет рациональпых корней. Поэтому Диофант рассматривает параметр ß как новое переменное и приравнивает дискриминант квадрату,

что дает

(Ь + а + I)2 + 4а (Ь + 1) ß2 = □ .

Поскольку свободный член в этом неопределенном уравнении яв­ ляется полным квадратом, то дальнейшее решение проводится по методу А.

При втором решении Диофант полагает

Хг = X — а , Х2 = 1 + а — X , У = ßa: . (ß = 2),

после чего второе уравнение принимает вид

X (а -|- 5 + 1 — х) = ß+ 2

и

а+ b + - 1

х= ß24-1 '

Параметризация неизвестных получена, однако остается еще учесть

откуда

Ъ1 +Ь

244

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Р А IV

Тогда второе уравнение примет вид

* + а + 7 + ^ (аі~ а) = й(аг~ а)Т + ^ -

Диофант решает сначала задачу, принимая одно из искомых чисел за неизвестное х, а другому придавая конкретное числовое значе­

ние. После этого ои проводит анализ задачи и дает общее ее реше­ ние, которое мы бы теперь представили в виде

245