Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Комментарии

и из последнего уравнения получаем

(а + 1 ) (Ь + 1) = (с +

1) **,

причем X будет рациональным, так как я +

1 , Ъ + 1 н с + '1 являют­

ся квадратами.

ние задачи ІѴ 35,

которая также является определенной, проводится

по тон же схеме,

что н решение задачи 1Ѵ34.

32. В лемме

к задаче IV зо требуется найти такие два неопре­

деленные числа,

чтобы

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

Диофант

принимает

y ty +

i)

1/3 = 8 и полагает

= 6, U - — 4,

Х\ + Л', +

Л';, =

X", тогда

ѵ

У(У+1)

т

г 3

Л I -

2ж®

’

"

•

""

->•2

X“

При этом все три уравнении удовлетворяются при условии, что

У (У +

t)

U"

Vs

2x2

■*'

X 3 +

* 2 =

* 2 .

У(У+1) +

U 3 +

V3 =

Ж>,

У(У + і)

где ------2------ — треугольное число, т. е. по самому определению

такого числа должно

быть целым. Однако при выбранных Диофан-

У ( У +

1)

том значениях для------ 2------ , Н2 и ІЛ сумма их равняется 18, т. е.

не является биквадратом.

Поэтому задача свелась к нахождению

такого треугольного

числа, квадрата и куба, сумма которых равна

биквадрату.

Для решения этой последней задачи Диофант полагает

U - =

=

X1 +

У (У + 1 )

= 2х2 _

1 _

„ У (У 4-1)

1-2x2, тогда — —2 ^ —

ѵ з . Но 8 — ^ 2 1

■+

.+

1 =

Г-1, поэтому

16х2 -

8F3 — 7 =

С -

Диофант полагает сторону этого квадрата

равной Ах — а

( а

— 1)

и получает

а® +

8Г3 + 7

(*)

8а

или, поскольку а =

1, х

=

V3 -)- 1. Итак,

получаем

У (УН- 1)

= 2Г° -!- ЗГ3 + 1 , U = И3 (И3 + 2),

2

или, если принять вместе с Диофантом І/3 =

У(У + 1)

=

153,

8, то------ 2

а

IT- =

Ö400.

Баше де Мезириак считал, что х, определенный формулой (*),

Г Хх -

Х 2 = X (Х2 -

X,),

Хі > Х 2 > Х я,

\ х { + Х и 1 = Г *

( і = 1 , 2, 3; і, i + l G Z j ) .

Диофант берет X =

3 и делает сначала подстановку У2 = 2, Х 2 =

= 2 + z, Х 3 = 2 — z, тогда Х 3 =

7z - f 2 и первое и третье условия

выполняются, а второе и четвертое дают

| 8z

+

4

=

У»,

\ 6z

+

4

=

У |.

чает

X =

122. Но

тогда Х 3 = 2 — х

получается отрицательным.

Для

того

чтобы решение было положительным, Диофант

требует,

чтобы X <

2,

т. е.

6z + 4 <( 16.

Так как 8z +

4

и 6z + 4 должны быть квадратами,

то числа

8z +

4, 6z +

4 и 4

составляют три квадрата, причем

(8z + 4) - (6z + 4) = Va (6z + 4 - 4 ) .

Итак, Диофант приходит к задаче:

отыскать

три квадрата И72,

Т/г

и U2 такие, что

(W 2 — V2) = - ^ - ( V * — U2),

г/г =

4,

V3< 16.

Заметим,

что

W 2 = У^, V2 =

У®,

U2 =

Y 2, поэтому

W 3 — V3 = X 2 - X 3 = - j - ( X i ~ X i) = ~ ( V 3 ~ U 2).

>) Ферма принимает

V ■= 7, тогда 2z* — 1 — V* =

2z* — 344, а

16z*

—

— 8V3 — 7

16z* — 2751.

АРИФМЕТИКА

КНИГА

ГѴ

Для отыскания нужных квадратов Диофант полагает V =

t +■

+ 2 (так как V < 4, то і ■< 2), тогда W2

4

16

4,

или,

= - g - 12-|- —g— t +

умножая на 9 и деля на 4, получаем

З«2 + 12і + 9 =

Q

Диофант берет сторону этого квадрата

равной 3 — kt и получает

12 + 6ft

ft® — 3

’

лового значения.

Далее,

Диофант учитывает арифметическое условие:

г <

2,

12 +

6ft

<

2 ,

или (2* — 3)2>

45.

Поскольку 62 < 45 <

72,

т. е- да _

з

то достаточно

взять 2ft — 3 >> 7, или f t ^ 5.

Полагая ft =

5,

он

получает і =

21/11,

откуда V = г +

2 =

43/11

и х — 1365/726, т. е.

,,

аЪі — Ьаі

1) если

■д 2Zaі— является квадратом (а > ад,

(

А 2 -

X 2 =

X (А'о -

А 3),

Л'і >

Х а >

A 3,

|А і +

Аі+1 =

У?

(£ = 1,

2, 3;

і,

і +

1 е Z3).

Диофант берет X = 3.

Ход его решения таков: он принимает

Х і -{- А, =

бV-

(6 =

4),

б2

б2

(ß = 2).

Х і = — я2

-I- ß, Хз = — г-2— ß

Поскольку

б2

—2~ X- < А 1 -j- А з < бV ',

Дпофант выбирает квадрат у-

(у = 3), который лежит .между 6V2 и

и б2, и полагает

Аі +

Аз =

у2*2-

Тогда Аз =

(т2 — - j - j я-2— ß. Из условия

А2 — А2 =

X (А, — Аз)

получим

Остается удовлетворить условию

А2 +

А 3 =

П ,

что нетрудно сделать,

так как А2 +

А 3 =

у2х2 — 2ß,

т. е. рацио­

нализацию можно провести с помощью метода В.

Эта книга содержит

наиболее сложные задачи. Вместе

с тем

в ней имеются пробелы

и некоторые места текста испорчены.

Так,