Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

АРИФМЕТИКА КНИГА V

отрывка решения восстановил текст условия и, кроме того, вставил между этой восстановленной задачей и задачей еще две проме­ жуточные: Ѵ10і и Vjii,.

В задаче Ѵ9 испоріен текст диоризма, в котором должна была

быть сформулирована чрезвычайно важная теорема теории чисел; а именно условие, при котором целое число N может быть представ­

лено в виде суммы двух квадратов. Это ограничение было восстанов­ лено Пьером Ферма, который вновь открыл эту теорему. Фило­ логический анализ текста был впоследствии проведен К. Якоби и П. Таииери. В пашем переводе дан восстановленный текст, при­ веденный в издании П. Таииери.

Далее, в леммах, предшествующих задаче Ѵ7, показывается, как построить три прямоугольных треугольника, имеющих одина­ ковую площадь. А в задачах Ѵ22_23 без всякого объяснения выбн-

р потея два треугольника, площади которых имеют заданное отно­ шение. По-видимому, этим задачам также предшествовали леммы, в которых пояснялся способ построения таких треугольников.

Задачи Ѵ,,_]4 составляют замкнутый цикл. Они новы но своей постановке, в них требуется разложить данное целое число N в сум­

му двух, трех итн четырех квадратов, каждый из которых удовлет­ воряет некоторому неравенству.

Диофант находит рациональные числа, которым приближенно должны быть равны стороны этих квадратов, а затем и сами числа, удовлетворяющие условию задачи. Метод решения задач этого типа Диофапт называет особым термином «теарюот'^то? іушуі)», что мож­ но перевести словами «метод приближения», ß процессе решения этих задач дважды появляется уравнение Ферма

ax'- - f l = </2

для а — 26 и 30, формулируются ограничения, связанные с тем,

что не всякое целое можно представить суммою двух или трех це­ лых или рациональных квадратов. Эти ограничения, или дпоризмы, показывают, насколько глубоки были знания Дпофанта в теории чисел. Подробнее об этих задачах рассказано в соответствующих комментариях.

Взадачах Vi5_-s рассматриваются системы уравнений, которые

Диофант сводит к одному уравнению третьей или четвертой степени от трех или более неизвестных. О методах решения этих задач бу­ дет рассказано подробнее в комментариях к ним.

Впоследующих задачах этой книги применяются методы ре­ шения задач Ѵ9_м, а также привлекаются к рассмотрению пифа­ горейские треугольники (задачи Ѵ7, Ѵаі-зв).

251

КОММЕНТАРИИ

Условие последней задачи облечено в стихотворную форму. Кроме того, это единственная задача, в формулировке которой фигурируют конкретные числа. Это обстоятельство сближает ее с задачами и эпиграммами, встречающимися в греческой логистике. Однако при ее решении Диофант дважды рассматривает и решает квадратные неравенства, так что, по существу, эта задача гораздо сложнее тех, которые дошли до пас в различных сборниках и анто­ логиях.

1. Задачи Vj и Ѵ2 эквивалентны системам

j ХІ = Х,Х3,

і ЙГі “F а—УI (£=1,2,3).

В первой задаче (отвечающей системе с верхним знаком) Диофант берет а = 12, во второй он полагает а — 20. Сначала, в первом

случае, он находит такой квадрат <2, что

тогда

и первые два условия выполнены, а последние два дают «двойное равенство» того же типа, которое встречалось в ІІІі3:

Решая, его, найдем

(у Диофанта а: = 361/104).

Вторая задача решается аналогично, однако произвольно вы­ бранное значение квадрата г2 такого, что г2 + а = 0 , приводит

к отрицательному решению. Анализируя задачу, Диофант при­ ходит к условию і2 )> 4а, в связи с которым и видоизменяет

252

К задаче Ѵ3 Ферма сделал замечание (№ XXII):

«Из этого предложения легко выводится решение сле­ дующего вопроса:

Найти четыре числа при условии, что произведение лю­ бых двух из них, сложенное с данным числом, дает квадрат.

Возьмем три числа, удовлетворяющих задаче, так что каждое из них, сложенное с данным числом, составит квад­ рат, как это и было предложено. Пусть четвертым искомым будет X + 1. Получим тройное равенство, решение которого

легко находится с помощью нашего метода. Смотри замеча­ ние к задаче ѴЫ [в настоящем издании к ѴІ22.— И . Б.].

Этим решается и вопрос, предложенный Баше к задаче

ІІІ12 [у нас Ш 10.— И. Б.], и помимо того, что метод более

общий, оп имеет еще то преимущество перед методом Баше, что при нашем решении три первых числа, сложенные с дан­ ным, составляют квадрат.

Однако мне до сих пор неизвестно, можно ли решить за­ дачу при условии, что и четвертое число, сложенное сданным,

составляет квадрат. Это надо будет еще исследовать».

3. Решение задачи Ѵ6, сводящейся к системе

основано на применении следующего поризма: числа р 2, (р + I)2 и

квадрат.

253

КОММЕНТАРИИ

4. Задача Ѵ0эквивалентна системе

Диофант решает ее с помощью тохю же иорнзма, что и предыдущую задачу, т. о. полагает

Диофант замечает, что для ее решения достаточно найти три прямо­ угольных треугольника в рацнональпых числах с одинаковой пло­ щадью. Тогда

с2 ± iS = Г,

где с — гипотенуза, а S — площадь треугольника.

Для нахождения трех прямоугольных треугольников с одина­ ковой площадью служат две леммы, с помощью которых решение получается чрезвычайно изящно,

В лемме 1 требуется найти такие два числа, чтобы

Решая это неопределенное уравнение обычным способом, Диофант принимает АД = х, Х2 = а (а = 1), У = х — ß (ß = 2) и получает

В лемме 2 требуется построить такие три прямоугольных тре­ угольника, площадь которых одинакова. Показывается, что такими

дующим образом. Пусть надо построить два прямоугольных тре­ угольника с одинаковой площадью. Будем строить их на числах X lt

У и Х2, У, т. е. предположим, что одно из образующих чисел у пих

254

стущее до бесконечности, треугольников равной площади?

Ничто как будто не препятствует тому, чтобы эта задача была возможной; поэтому ее надо глубже исследовать.

Мы разрешили задачу, более того, если дана площадь произвольного треугольника, мы построим бесконечно много других, имеющих ту же площадь: пусть, например, дана площадь 6 треугольника 3, 4, 5, то другим треугольником той же площади будет

7/10, 120/7, 1201/70,

пли, если желательно иметь один и тот же знаменатель,

49/70, 1200/70, 1201/70.

Общий и всегда применимый метод таков. Пусть дан произвольный треугольник с гипотенузой Z, основанием В и высотой D. Из него можно вывести другой треугольник, не

подобный ему, но одной с ним площади; образуем его из

квадрата Z и удвоенного В на D и плоскоплоскостные стороны разделим на удвоенное Z на В квадрат — удвоенное Z на D

квадрат1). Такой новый треугольник будет иметь площадь,

равную площади предыдущего.

Отправляясь от этого второго, таким же методом образу­ ем третий, из третьего четвертый, из четвертого пятый и по­ лучим бесконечно т о г о неподобных треугольников одина­ ковой площади.

>) То есть на числах Za и 2B-D. Полученные сторопы делятся на 2Z-B2 —.

— 2Z-D2.

255

КОММЕНТАРИИ

Чтобы не было сомнения в возможности построить более трех треугольников, к найденным Диофантом

40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113

Если привести эти числа к одному знаменателю, то по­ лучим четыре треугольника в целых числах, которые отве­ чают одной и той же площади:

Можно найти тем же методом бесконечно много треуголь­ ников одинаковой площади и тем самым распространить за­ дачу Диофанта за пределы, которые он наметил.

Вот еще треугольник, полученный другим методом, пло­ щадь которого составляет ушестеренный квадрат, как и у 3, 4, 5, а именно:

2896804, 7216803, 7776485».

Замечания Ферма к задаче Ѵ7 (№ XXIV):

«Из сказанного выше явствует, что мы можем решить

При ее решении Диофант применяет изящную лемму, в которой решение системы

Х іХ і+1 = с\ (і = 1, 2, 3; і, і + 1 е z 3)

256