Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

АРИФМЕТИКА КНИГА V

находится в виде

X. = ■

г

Сг+2

Он берет три прямоугольных треугольника с одинаковой пло­ щадью £ и гипотенузами clt с2, сэ и полагает

Х4 і? С і С 2С з

7. Задача Ѵв эквивалентна системе

Поскольку не любое целое представимо суммою двух квадратов, целых или дробных, Диофант накладывает ограничение на число а.

Однако текст рукописи испорчен и первые переводчики «Арифме­ тики» Ксилаидр и Баше де Мезириак не сумели его восстановить.

Так, Ксиландр полагал, что заданное число а должно быть уд­

военным простым. Возражая ему, Баше заметил, что если взять а = 5, то 2а + 1 = 21, которое не является квадратом и не может

быть разложено на сумму двух целых квадратов. Он полагал, что 21 нельзя представить и в виде суммы двух дробных квадратов, од­ нако не мог это доказать.

Ферма написал по этому поводу следующее замечание (№ XXV); «Число 21 не может быть разложено на сумму двух дробных квадратов. Мы можем это легко доказать. И вообще, никакое число, третья часть которого не имеет трети, не может быть разложено на два квадрата ни целых, ни дроб­

ных».

К этому месту Ферма сделал еще одно замечание (№ XXVI): «Вот истинное условие, действительно общее и исклю­

чающее все непригодные числа:

КОММЕНТАРИИ

необходимо, чтобы данное число не было нечетным и чтобы двукратное этого числа, увеличенное на единицу, после деле­ ния на наибольший измеряющий его квадрат, не могло быть разделено на простое число, которое па единицу меньше кратного четырех».

Таким образом, после Диофанта только Пьеру Ферма удалось найти нужное ограничение. К. Якоби провел филологический ана­ лиз текста и предложил свою реконструкцию условия Диофанта. Более того, он реконструировал доказательства этого условия ме­ тодами, которыми вполне мог пользоваться Диофант (см. его статью, указанную в сноске па стр. 23). Окончательная реконструкция тек­ ста, перевод которого мы приводим, принадлежит П. Таинери. Для того чтобы ограничение было достаточным, его следует сформули­ ровать так: число 2а + 1 после выделения из пего полного квадрата

не должно делиться ни на одно простое число вида Ап — 1. Выде­

ленного курсивом условия Диофант но оговорил, как он это не делал и в других случаях (см., например, наши замечания к Ѵи ), так что можно предположить, что он считал его само собой разумеющимся.

Для решения этой и подобной ей задач Диофант применяет

Умножая на 4, заменяя х на 2у и умножая на у2, он получает

2 (2л + 1) , / + 1 = □ .

Это — уравнение Ферма, которое при данном значении я имеет вид

26у2 + 1 =

Диофант решает его, полагая сторону неизвестного квадрата рав­ ной 5у + 1, и получает у = 10, х = 20. Тогда

и сторона квадрата, большего 6, будет 51/20.

Заметим, что метод Диофанта для решения уравнения Ферма

рх- + 1 = Г

258

т. e. придем к подстановке Диофанта. Решая совместно уравнение прямой и окружности С, получим точку Р, близкую к А и удовлет

воряющуто условиям задачи.

Приведенное нами рассуждение есть дословный перевод реше­ ния Диофанта на язык геометрии. Разумеется, сам он мог и не поль­ зоваться этим языком и прийти к подстановке (*) чисто арифмети-

9*

259

комментарии

ческн, однако, как мы думаем, для нас метод его становится яснее при его геометрической иптерпретацип.

Заметим, что сам Диофант, говоря в задаче Ѵп о примепеппом в задаче Ѵ9 методе, называет его «методом приближения» (теаріоптѵ]-

тос aycoffi)-

Можно было бы сказать и «неограниченного приближения», так как способом Диофанта можно получать квадраты Х%, сколь

угодно близкие к 6Ѵз. Действительно, для отыскания таких квадра­ тов Диофант решает уравнение

•) Приведенная реконструкция метода (до примечания 8) принадлежит А. Ф. Лапко.

260