Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.10.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Арифметика книга ѵ

Чтобы удовлетворить первому из уравнений (1), Диофант пола­ гает

(5)

X х= 21/,

и ■

ку + 1

к

1

 

2.Ѵ

= ТГ + 1 у-

 

Здесь

1

и к >

0

(иначе

(4)

не будет выполняться).

у > - у - - -

Тогда из первого из уравнений (1)

Диофант получает

 

(6)

 

1

_

4а +

2 — /с2

 

 

 

у

 

 

2к

 

 

 

Учитывая неравенства (4),

отсюда

мы получаем

 

 

2 У Г + Т - У2</с<2У0"+Т+ ^2,

 

причем если у положительно, то

 

 

 

 

(7) 2 / т

— у з

< к <

У 4 а + 2

(у

Диофанта

3.S773 <

 

 

 

 

 

 

 

 

<

* < 5,0990).

При любом рациональном к из интервала (2 У<z+l — У2, У4а + 2), получается рациональные значения х и и:

(8)

4к

_ 4а + 2 + /с2

4 а + 2 — /£2 ’

ік

 

Значение ѵ, вообще говоря, при этом получается не рацио­

нальным.

Далее Диофант применяет метод приближения: он принимает в первом приближении

(9)

 

 

4а + 2 +

fc2

 

U l

= Ѵ \

 

 

 

 

4к

 

Заметим, что

если

бы к = У 4 а +

2 был рациональным, то

и = ѵ =

“д.

^ были бы рациональными основаниями квадра­

тов, удовлетворяющими условиям задачи. Таким образом,

 

(2а + 1) = 2 ^ ± l ± J f L - (2а + 1) = ( ± ± 2 =l ! f l > 0.

 

 

 

16А-2

8А2

Из этого неравенства видно, что ирнближение (9) будет тем точнее, чем ближе будет выбрано к к правому концу неравенства

(7). Кроме того, применяемая далее Диофантом методика нахож­ дения точного решения системы (1) при условиях (3) и (4) наклады­ вает на выбор к дополнительные ограничения. Не приводя здесь соответствующих выкладок, отметим, что любое рациональное к,

261

К о м м е н т а р и й

взятое

из отрезка

 

 

 

(Ю)

/ 4 а + 2 1 / -------------1

. ■

■ + 1 -

 

 

 

У (2а + 1 -!- / 4а2 + 4а)2

 

 

 

 

1

<

к <. / 4 а + 2

 

 

2а -j- 1 -)- / 4а2 -|- 4а

 

(при а = 6

имеем 4,9102 < к ^

5,0990), позволяет, следуя методу

Диофанта,

найти рациональное

решение

системы (1)

при услови­

ях (3) и (4).

 

 

 

 

Предположим, что пам известно два таких рациональных

числа

и0 ^

г>о (у Диофанта и0 — 3, ѵ0 — 2), что

 

( 11)

 

Wp + Vq = 2а -ф- 1.

 

Наличие известных чисел н0 н ѵ0 позволяет расширить допустимые эначеныя к, а именно:

р,

2ці) Y а — 2арV а + 1 _

 

 

/ а — / а + 1 + uj — ио

 

 

- Л /

( 2и ' Y a ~ 2vl XJ - ± !_ Г - (4а 4- 21 < к < / 4 а + 2

 

V

\ V a - V а +

1 + по — Vi)J

 

(при а = 6,

ц0 = 3, ѵ0 =

2 имеем 4,6724 ^

к ^ 5,0990).

 

Диофант этих неравенств не выписывает,

но он указывает, что

будет искать два квадрата и2 п ѵ2 возможно ближе друг к другу, а для этого к надо взять возможно ближе к правому концу отрезка допустимых значений к (Диофант полагает к = 5). Далее Диофант

предполагает искать два других числа п и п таких, чтобы

(13)

используя подстановки

(14)

где кі и &2— любые. Тогда

п2 + у2 =

и2 + ѵ \ — 2 (кіи0 — к2ѵ0) t + (к2 + к*) г2;

приравнивая это выражение (13), получим

нr}\

j _ 2 (Л'ін0 —Л'2П0)

 

 

*? + *?

'

262

АРИФМЕТИКА КНИГА \

Следовательно,

 

п = Wo_ 2А| (/сто —■/С2Уо)

2/сі/і'2Уо (/c^ A^) Bn

к, + А®

*£ + *І

(16)

2Ai/c2ttj -]- (/cf — Af) wo

2Аз (Auto — А3У0) _

V = Vo +

 

/cf + /cf

*i + *S

В задаче, которую мы сейчас рассматриваем, Аі и А2 выбирать про­

извольно нельзя, так как новые два числа и и у не только должны удовлетворять условию (13), но должны быть близки между собою и близки к найденному первому приближению (9).

Следовательно, должны выполняться приближенные равенства

и + V• 4я -Ь 2 + А2

 

 

 

2А

. и — у ж 0,

 

 

т. ѳ., учитывая (14),

 

 

 

I «о ѵо — кі t -|- hit

4ft + 2 + А2

2A

 

 

 

. tfo — Уо — Аі/ — A3/

0 ,

откуда

 

4a +

2 + A2

kit

ж uo

 

4A

(17)

 

 

4a + 2 +

A2

Аз/

 

4A

Уо.

 

 

 

Итак, чтобы решить поставленную задачу, в формулах (14) Аі и А2

надо выбрать так, чтобы выполнялись приближенные равенства (17).

 

Для этого положим

 

 

 

 

 

,

4а + 2 + А2\ .

 

 

 

 

и = ко — (но —

---- ''----------- А,

а = но —/Д,

 

(18)

 

 

4А

 

У = уо■ Ѵо _4а + 2 А2

у = ѵо — АД,

 

 

 

 

 

 

4А

 

 

 

где

А ж 1, іі =

u0 — uj, /2 = у0 — уі (если

А = 1, то

и = щ

н

у =

уі). Значения

іс и у пз (18)Диофант подставляет в (13)

и находит

(19)

 

8 (4а + 2) А2— 4А (4а 2 -f- А2) (по + Уо)

 

 

4 (4а +

2) А2— 4А (4а + 2 + А2) (по +

у») + (4а +

2 + А2)2

'

 

Подставляя это значение А в формулы (18), мы найдем рациональ­ ные п н у такие, что иг -f- г-2 — м® + у* = 2a + 1 , и, кроме того,

КОММЕНТАРИИ

будет иметь и ä щ, ѵ ■х . vi', все условия задачи будут выполнены.

Остается из соотношений (1) найти

(20)

JL +

± = itS — а

и

— — — = V2 — а.

 

2

а;2

 

2

.г2

 

В

случае, рассматриваемом

у

Диофанта,

 

 

4а + 2 + /с2 _ ч 51 _ 9

 

°

4/с

 

 

20

20 ’

 

____4а + 2 + £3 _

9 _

51 _

_ 11

 

°

4к

 

 

20

20

иформулы (18) принимают вид

и= 3 - ; ± X,

20

V = 2+11 X.

 

 

 

 

 

'

20

 

 

 

 

Формула (19) дает тогда X — 100/101,

и, следовательно,

 

 

ц = 3__45 == 258

 

„ _ ч

I 55

_

257

 

Отсюда

“

101

101 ’

 

Ѵ

+

101

 

101 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 _і_ 1

_ / 2 5 8 \ 3_ к

_

5358

 

1

1

_ 4843

 

2

' х3

І101)

 

 

10201

’

2

X3

10201

‘

Итак, схема решения аналогичных задач Диофантом следую­

щая. Решается первое из уравнений (1),

предварительно

умножен­

ное на X3 =

4у2:

 

 

1 )if- +

 

 

{2уи)\

 

 

(21)

 

2(2а +

1

=

 

 

где за сторону

квадрата,

стоящего

справа,

принимается ку + 1.

Коэффициент к выбирается рациональным и возможно близким к

У"4а + 2. После этого из уравнения (21) Диофант находит у, а сле­ довательно, и и . Затем в качестве первого приближенного решения принимает и = и и равное найденному значению и. Затем Дио­ фант на основании известного решения и 0 , ѵ 0 уравнения (2) находит

h = Щ — и1г 12 = ѵ0 — ѵг

и полагает

и = и0 — liX, г>= f0 — LX.

Подставляя эти значения и и у в (13), Диофант находит X, а тем са­ мым а и V, удовлетворяющие условиям задачи. Затем по формулам

(20) находит те части, на которые требуется по условию разложить единицу.

264

 

 

АРИФМЕТИКА КНИГА V

Если проделать все выкладки,

приняв а =

6,

и0 = 3, ѵ 0 = 2,

к = 4,7, что допустимо

согласно неравенству

(12),

то получим

г _2358198

_

2205317

 

 

“

895481 ’

Ѵ

»95481 ’

 

и, следовательно, для решения задачи единицу надо подразделить на части

749780479038 ^ 52105742323

801886221361 " 801886221361 '

8.Задача Ѵ10 эквивалентна системе

А'і -I- X , = 1,

Хг + а = У*,

А2 + Ь = У*.

При решении этой задачи Диофант впервые прибегает к геомет­ рической интерпретации искомых чисел в виде отрезков прямой. Интерпретация выдержана в духе «Начал» Евклида. Впрочем, пос­ ле этого он быстро переходит к обычной алгебраической трактовке.

Положив а =

2,

b =

6,

он приходит к задаче разложить число

а + £>

1 [ = 9 ]

в сумму двух

квадратов Y^ + У |, из которых

один,

например

Y®,

удовлетворяет неравенству

 

 

 

 

2 < Y\ <

3.

Пусть

Yj = X , тогда

Y'l

=

9 —

х г ,

причем

ѴТ < х < Уз:

Вкачестве приближенных значении для этих радикалов Диофант берет 17/12 и 19/12. Первое из них получается по методу «боковых

идиагональных чисел» пифагорейцев, который был обоснован в «Началах» Евклида (кн. II, предл. 9).

Согласно этому методу каждое следующее приближение r\n/t,n

для / 2

получается из предыдущего

 

по формулам

 

ё п

Ч 7І - І ""Ь ^ 1 1 -1 '

 

 

 

 

 

11п =

Чтг-і “Ь

 

 

 

 

Если в качестве первого приближения

выбрать=

Ці =

1, то по

 

,

1

3

7

17

41

лучим последовательные приближения — , —

, — , — ,

 

 

 

1

а

5

 

 

которые,

как нетрудно видеть, совпадают

с теми, которые по­

лучаются нри разложении У~2 в непрерывную дробь.

265

Смотрите также файлы