Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

Диалогично, дли У 3

последовательные

приближения

можно

получить по формулам

§„ =

і]„ = 1)п_г +

3£„_г

е в а

«О приближенном вычислении квадратных корней в Древ­

ней Греции», Историко-матем. последов., вын. XVI, М., Паука,

1965,

стр. 219 —234).

Получим последовательность

приближений

1_

5_

1 4 ^ 2 .

52 = ^

'

1 ’

3 ’

8 ' 4 ’

11 ’ 3Ü 15

Диофант, против обыкновения,

ио придаст

конкретного числового

значения. Тогда х

6/с

и Диофаит

требует, чтобы

к2 +

1 ’

17

^

6/с

^ 19

откуда

12 ^ Г- + 1

'12 ’

3,504 . . . < к <

3,984 . . .

и Дпофант выбирает к = 3,5

Ясно, что в качестве к можно выбрать

* Выбранное Диофапто.м значение к = 3,5

лежит вне полученного

интервала;

однако, если исходить из более точного условия

V'z < —

< Ѵз, то

ft" -р i

для к получим более широкиГі интервал

возможных

значений

3,146.. . <

АРИФМЕТИКА КНИГА V

9. Задача Ѵп эквивалентна системе

ГХг + Х 2 +

Х 3 = і ,

1 х { + а = У *

(і = 1 , 2 , 3 ) ,

из которой легко следует, что

ние на число а: оно не должно иметь вид 8га +

2,

т. е.

число N =j=

ф 2 А к + 7.

Еще Ферма заметил, что это ограничение недостаточно,

так как суммою трех

квадратов

непредставимы

все

числа

вида

4т (8к + 7).

Весьма

вероятно,

что Диофант не рассмотрел

чисел

этого последнего вида, так как

предполагал, как и в случае задачи

Ѵ0, что представляемые суммой трех квадратов

числа уже свободны

от квадратных делителей. Ход решения

этой

задачи тот же,

что и

у Ѵо. Диофант полагает а =

3, тогда За +

1 =

10 и задача сводится

к представлению числа 10 в

виде суммы

таких

трех квадратов,

каждый из

которых больше 3:

У2 + У® +

У2 =

10,

У? >

3.

Опять Диофант сначала

отыскивает такую дробь

И х2, чтобы

3 ^

ж2

U ’

или,

умножая все на 9,

заменяя х на Зі/ и умножая на у2,

30у2 +

1 =

z2.

Поскольку 30 = 25 + 5,

т. е. имеет вид т2 +

т, то уравнение ре­

шается подстановкой (см. комментарий

к V»)

z =

5у +

1, откуда

у =

2

и

і/х 2 — 1/36,

т.

е. каждый из

квадратов должен

быть

121

10

1

а стороны их, т. е. Уу, близки к 11/6.

близок к — = — +

—- ,

36

3

36

Затем Диофант выбирает некоторое представление числа 10

суммою трех

квадратов:

10 = 9

1 = 9

-|- 16

9

= р2 + 92 + га,

где р

= 3,

д =

3/5,

г =

4/5. Нужно выбрать новые три квадрата,

стороны которых близки к 11/6.

В первом приближении Диофант полагает Y t =

У2 =

У3 =

11/6,

/11\2

363

1

но

з-Іб-І

=

36 =

10 ^2 > 10.

Тогда,

так же

как

и в задаче

КОММЕНТАРИИ

Ѵ9, Диофант

находит

,

о

И

7 _ 35 .

3

И _

37

, _ 4

И _

31

1

д

ТГ

6

3 0 ’ 2

5

6

30 ’

3 5

6

30'

Диофант умножает

все на 30 и полагает

Уі =

3 — 35t,

(*)

У3 =

Jt +

37t,

5

Уз =

. | . + 31t,

о

и2+

а2 + W- — 10

представляет

сферу. Точка А

(3; 3/5; 4/5) лежит на

ней,

а точка

В (11/6; 11/6;

11/6) — вне сферы, так как 3■ (11/6)2 =

1

Прове­

lO-jrjr •

дем прямую через точки А и В .

Уравнение ее будет

—35

37

31

или, в параметрической форме,

и = 3 — 35t, v =

— -\-'S7t,

w — А -)- 31t.

5

5

К

этой

задаче П. Ферма сделал

следующее

замечание

(№ XXVII):

«Условия, наложенные Баше J),

недостаточны:

более

того, он не провел свои исследования с нужной аккуратно­

стью, так, например, число 37 не исключается этими усло­

виями, но оно не может быть взято.

>) Б аш е сформулировал следующие условия: данное число а

не долж но быть

вида

32п +

9. Он утверж дал, что проверил все числа до

325

и не

нашел

ни

одного

исключения.

АРИФМЕТИКА КНИГА V

Вот каковы должны быть условия:

Возьмем две геометрические прогрессии со знаменателем

4

и имеющие первые члены 1 и 8 и напишем их одну под дру­

гой следующим образом:

1,

4,

16,

64,

256,

1024,

4096

и т. д.,

8,

32,

128, I

512,

2048,

8192,

32768

и т. д.,

и

рассматриваем

сначала первый член второй прогрессии,

т.

е.

8; нужно, чтобы данное число не равнялось удвоенной

Zx +

Z 2 +

Z 3 = 1,

Хг +

а =

У*,

*2 +

ъ=

У*

Z 3 +

с =

У*