Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Диофант не приводит полного решения задачи, намечая только его план: сначала он предлагает представить 10 в виде

таторами Г. Вертгеймом, А. Чвалина, Вер-Экке и Э. Стаматисом. Мы здесь поясним ход решения. Итак, пусть сначала число 10

дем прямую через точки Л и А (1; 3), лежащую на окружности. Урав­

один из которых лежит между 3 и З-^-. Это можно сделать методом

270

АРИФМЕТИКА КНИГА V

Следовательно, У2 У2 + У2 = 2а. Диофант берет а = 10

и, таким образом, приходит к задаче: разложить число 20 на сумму

квадратов уже меньше 10, то остается разложить 16 на два квадрата, каждый из которых меньше 10 или, еще, один из которых > 6 и < 10. Диофант предлагает сделать это методом, который уже нам изве­ стен. Очевидно, он имеет в виду метод решении задачи Ѵ10.

12. Задача Ѵ14 эквивалентна системе

Уі -}- У2-{- й з -}- У4— а ,

Диофант, как и в предыдущей задаче, берет а — 10. Он не на­ кладывает никаких условий па выбор числа а. По-видимому, ему

было известно, что каждое целое можно представить в виде суммы четырех квадратов, целых пли дробных (см. также задачи ІѴ29_30).

Дпофапт намечает два пути для решения этой задачи. Первый из них состоит в применении «метода приближения»: делим сначала 30 на четыре квадрата, каждый из которых <( 10. Можно принять, что каждый из этих квадратов примерно равен 7Ѵ2, и, по методу Диофанта, найти такую дробь 1/z2, что

271

КОММЕНТАРИИ

Но 30 можно представить в виде 30 = 1 + 4 + 9 + 16, т. е. одно рациональное решение у уравнении (*) уже есть -- это (1; 2; 3; 4). Тогда, как и в задаче Ѵв, находим

(t должно получиться близким к 1/4). Подставляя эти выражения

Второй способ состоит в том, что число 30 представляется в пи..о

не считается полноправным решением задачи; Диофант старается заменить решение, содержащее единицу, другим рациональным решением.

272

Таким образом, все три уравнения удовлетворяются при условии, что

(ß3 + у3 + б3 — 3)я3 = X

пли

ß3 + у3 + 63 — 3 •

Для существования рациональных решений достаточно потре­ бовать, чтобы

в четырехмерном пространстве. Для ее рационализации Диофант закрепляет один из кубов, полагая б = т (он берет т = 2), а два

других неизвестных выражает как линейные функции параметра:

ß^ at -ф б,

у= ct -)- d.

Коэффициенты он подбирает так, чтобы

1)при подстановке в уравнение (1) уничтожились члены третье­ го порядка,

2)коэффициент при і2 был бы полным квадратом.

после чего иайдем рациопальные значения ß, у и б.

273

КОММЕНТАРИИ

Заметим, что решению Диофанта можно придать простую гео­ метрическую интерпретацию. Условие 6 = т равносильно пересе­

чению гиперповерхности (1) пучком гиперплоскостей. В сечении с каждой из этих гиперплоскостей получается кубическая поверх­ ность в пространстве (ß, у, z). Перейдем теперь к проективным ко­ ординатам. Тогда уравнение поверхности (1) примет вид

Подстановка Диофанта эквивалентна проведению пучка плоскостей

(2) u + » = ( 6 + rf)T = 7т,

каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую

и -{- V — 7т,

лежащую на поверхности (l'). Неопределенным при этом остается параметр 7.

Всякая плоскость пересекает поверхность (l') по кривой третье­ го порядка, а каждая плоскость пучка (3) — по кривой, которая распадается на две компоненты: прямую (3) и кривую второго

которые будут точками пересечения прямой (3) с кривой (4). Теперь остается только подобрать параметр 7 так, чтобы точки А и В были

рациональными. Для этого достаточно положить, следуя Диофан­ ту, 7 = ЗА:2.

Интересно отметить, что по схожему пути следуют и современ­ ные исследования арифметики кубических поверхностей. Для отыс­ кания рациональных точек таких поверхностей проводят через известную рациональную точку М поверхности касательную пло­

скость. Эта плоскость пересечет поверхность по кривой третьего порядка, для которой М будет двойной точкой. Поэтому получен­

ная кривая будет рода 0 и ее можно униформизировать в рациональ­ ных функциях над полем рациональных числе Q. У Диофанта кар­ тина получается несколько иной, так как плоскость (2) проходит через прямую, лежащую на поверхности, т. е. кривая, полученная в сечении, оказывается приводимой.

274