Файл: Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

бор одной из гипотез при наблюдении каждой из возможных реа­

лизаций и эквивалентен разделению пространства U на два подпро-

странства U0 и £/ь Основная задача заключается в том, как опти­

мальным образом разделить пространство U, при этом сразу воз­

никает вопрос о критерии оптимальности.

Подход к задаче обнаружения на основе теории статистических решений был предложен в известных работах [23, 25, 35, 36, 41], где указывается, что приемная система в этом случае должна либо выносить некоторое суждение о неизвестной величине, т. е. быть ре­ шающей, либо давать наблюдателю апостериорные вероятности на­ личия и отсутствия сигнала, на основании которых наблюдатель должен принимать решения. Естественно, что в последнем случае неизбежна зависимость качества решений от субъективных качеств

наблюдателя, которые трудно

оценить.

Так

как при

обнаружении

ПМ сигнала пространство

 

—►

 

И

из двух зна-

решений <§*

состоит только

чений y (S * )= 0, •y('S*) = l

и

наблюдателю

безразлично, какие зна­

чения принял ОМ сигнал, то функция потерь r(S; y) не зависит от

—V

 

 

—У

->

конкретных значений S(t\

X), а зависит только от событий S(t\ К) =

= 0 и S(t; Х ) ф 0. Значит,

величины гц определяют матрицу

потерь

г ( S = 0; 0)

r ( S = 0 ;

1)

(7.2.4)

 

 

 

 

г

0 ф 0; 0)

г (1 ф 0;

1)

 

Потерям гц можно приписать стоимости эксперимента, стоимость

действий предпринятых после принятия решений, а также стоимость

последствий этих действий.

Поэтому естественно

положить,

что

г (S = 0;

1) =

t01> t ( S ^ O ; 0) = г0„

(7.2.5)

 

 

 

 

 

г ф ф

0; 0) =/■,„>/■ (S ** 0;

1 ) = г „ .

 

Выбирая различные значения для элементов

Гц

матрицы

потерь,

мы будем получать различные критерии оптимальности обнаруже­ ния. Используя выражение '(7.2.5), требование среднего риска соглас­ но (7.1.10) можно записать как

 

 

М V (5; Y)] = Я {гтР-*

 

[7 = 0] +

 

г<пР+ [Y = W

+

 

 

 

 

s = o

 

 

s = о

 

 

 

 

+ P { r 10P ^

 

[Т =

0 ] + г п Я _

 

[Y = 1]} =

min,

(7.2.6)

 

 

 

 

0

 

S9M)

 

 

 

где

P

[y = 0] — вероятность принятия правильного решения, если

отсутствует ПМ сигнал; Р-+

[y = 1 ] — вероятность

принятия lipa­

 

 

 

 

s e

о

 

 

 

 

 

вильного решения, если имеется ПМ сигнал;

 

 

 

 

Р ->

 

[у = 1 ] = 1 — Р _>

 

[Y = 0 ] ;

 

 

 

 

s = o

 

 

s=o

 

 

 

 

 

р -

[Y = 0] = 1 — Р_>.

[Y = l] ;

 

(7.2.7)

 

 

S#0

 

 

 

S#0

 

 

 

 

М[

 

] — знак математического ожидания.

 

 

 

174

Решение «ПМ сигнал есть», когда он на самом деле отсутствует, называется ошибкой первого рода или «ложной тревогой», решение «ПМ сигнала нет», когда он на самом деле есть, называется ошиб­ кой второго рода или «пропуском сигнала».

Таким образом,

S —о [т — 1] — вероятность

ложной тревоги, а

Р-> [т = 0] — вероятность пропуска ПМ сигнала.

s#o

 

 

 

 

 

 

 

Используя

равенства

(7.2.7),

требование

минимума среднего

риска (7.2.6) преобразуем к виду

 

 

 

М [г (S;

Т)] =

qRoP->

[Y =

1] +

pRiP*.

[Г = 0] +

 

 

 

S = 0

 

 

s^ o

 

 

+

<J"oo -Г prn =

min,

(7.2.8)

где в соответствии с

(7.2.5)

 

 

 

 

 

Ro=foi—Тоо>0,

Ri = fio—Г ц > 0.

(7.2.9)

Из (7.2.8) видно, что качество системы обнаружения ПМ сигналов можно характеризовать вероятностью ложной тревоги и вероятно­ стью пропуска сигнала, зависящими от правила решения, так как величина qrm+pru фиксирована при заданной функции потерь и

не зависит от правила решения. Многие критерии можно определять

исходя

из выражения (7.2.8),

изменяя только коэффициенты

qRo

и pRi

в линейной комбинации

вероятностей ошибок первого и

вто­

рого рода. Согласно критерию идеального наблюдателя оптимальной системой обнаружения считается система, минимизирующая полную вероятность неправильного решения:

qP-+

[Y = l ] + ^ - >

[Y = 0] = min.

(7.2.10)

S в о

s # o

 

 

Сравнивая выражение (7.2.10) с (7.2.8), находим, что критерий идеального наблюдателя относится к критерию минимума среднего риска с матрицей потерь.

0 1

(7.2.11)

1 0

Следовательно, при критерии идеального наблюдателя правильным решениям сопоставляются нулевые потери, а ошибочным — одинако­ вые потери. При критерии Неймана — Пирсона минимизируется оптимальной системой обнаружения вероятность пропуска сигнала

Р _> [у = 0] — min

(7.2.12)

6'^0

при заданном значении вероятности ложной тревоги

Р -

[ Y = ! ] = «.

(7.2.13)

s=o

 

 

175

Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет сфор­ мулировать эту задачу как отыскание минимума величины

Р -

[Y = 0] + /.P_*

[Y — 1] =

min

(7.2.14)

 

 

S =

1

 

 

или

 

 

 

 

 

IqP.*

[y =

1 ] + pP^.

[y — 0 1 =

min,

(7.2.15)

S =

0

6V 0

 

 

где l=liplq—неопределенный множитель.

 

критерий

Сравнивая выражение

(7.2.15) е )(7.2.8), находим, что

Неймана — Пирсона

можно

рассматривать как

критерий

минимума

среднего риска с матрицей потерь

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.2.16)

где неопределенный

множитель I находится из условия

(7.2.15).

При критерии взвешенных комбинаций оптимальной считается си­ стема обнаружения, максимизирующая величину

[у =

1] — wP^, [Y = l] = max, w > 0, (7.2,17)

0

6 —0

т. e. система обнаружения, дающая максимальную вероятность пра­ вильного обнаружения при минимальной вероятности ложной тре­ воги. С учетом равенств (7.2.7) находим, что условие (7.2.17) экви­ валентно условию

Р

[у = 01 +

ю Я _

[у =

1] == min,

(7.2.18)

 

S# 0

S 5

О

 

 

а это значит, что критерий взвешенных комбинаций

можно отне­

сти к критерию

минимума среднего

риска

с матрицей

потерь

 

 

0

1

 

 

 

1Ы1 =

p

 

(7.2.19)

 

W

0

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

Из рассмотренных критериев можно придти к общему выводу, что требование(7.2.18)можно представить в виде

а0Р->

[Y =

U + “i-P-* [Y =

0] = m in (а0,

aj > 0 ) ,

(7.2.20)

S = 0

s^ o

 

 

 

где a0 и

a 4 могут

быть заданы, а

неизвестными

являются

вероят­

ности ошибок первого и второго рода, что соответствует фиксиро­ ванным значениям функции потерь, либо может быть задана одна из вероятностей, а коэффициент при ней является неизвестным и находится из условия заданного значения вероятности. Если пра­

вило решений Р[у/и] рандомизированное, то вероятность ложной

тревоги равна

Р_> [Y = 1] = С

(н) Р]]/и] dx,

(7.2.21)

s=o

s=o

 

и

176

а вероятность пропуска ПМ сигнала равна

 

Р -*

[у =

0J =

I f

( S )

Сf

{ u / S )

P

[0/и] da =

 

 

 

 

s#о

 

 

 

£

 

J.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J P

[0/и]

da j f

( S ) f

(н/S)

d S ,

 

.

(7.2.22)

 

 

 

U

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где f_>

(a) — плотность

вероятности

к При условии,

что S ф 0.

s^o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р [1/и] =

1 — Я [0/и],

 

 

 

 

 

(7.2.23)

и подставляя

(7.2.21)

и

(7.2.22)

в

выражение

(7.2.20),

находим

“о + “i

f -Р [0/и] [f_>

(а)

— (а0/а,)

 

/_>

(a)]rfM =

min.

(7.2.24)

 

J,

 

s^o

 

 

 

 

 

s=о

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимизация

выражения

(7.2.24)

эквивалентна

минимизации интег-

рала второго слагаемого.

Поскольку 0 < Я [ 0 / ц ] < 1 ,

то

интеграл в

(7.2.24) будет

минимальным,

если Я [0/и] = 0

 

для всех и,

при кото-

рых

—>

 

 

 

—>

0,

и

 

->

=

1 для всех и,

при ко-

(и) — (а0/а,) /->

(“) >

Я [0/и]

s#o

 

 

s=o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых f_y

(a) — («o/ai) f->

( а ) <

0.

Следовательно,

 

 

 

s#o

 

 

5

=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

 

Я [0/и] = 0, Я [ 1/и] = 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

(«) /

f

 

(и) >

a0/a,.

 

 

 

 

(7.2.25)

 

 

 

 

 

/

s=o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я [0/и] =

1,

Я [/«] =

0,

 

 

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ -

Й / U

 

( « ) < « ,/» ,.

 

 

 

 

(7.2.26)

 

 

 

5^0

s=o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ( и ) = / и

(и )//_

(и),

 

 

 

 

 

(7.2.27)

 

 

 

 

 

 

s^o

 

5=0

 

 

 

 

 

 

стоящая в левых частях неравенств (7.2.25) и (7.2.26), называется отношением правдоподобия. Заметим, что в аргументах плотностей вероятностей наблюдаемого сигнала при условии, что он содержит и

не содержит ПМ сигнала, стоят выборочные значения и, измерен-

—>

ные в результате приема U(t\ Я).

12—667

177

Таким Образом, правило решений, оптимальное согласно ирйтерию (7.2.24), заключается в следующем: при приеме какого-либо

сигнала и вычисляется отношение правдоподобия Л(и) и сравни­

вается с порогом

 

—>

х=-ао/щ.

 

(7.2.28)

Если

А (и )> х, принимается

решение «ОМ

сигнал есть», если

А (и ) < х,

принимается

решение «ПМ сигнала нет».

—>

Так как и пред-

ставляет

собой точку

пространства колебаний

U,

то уравнение

 

 

Л (и) = х

 

(7.2.29)

представляет собой

уравнение

гиперповерхности,

разделяющей

 

—У

 

 

 

 

пространство U на две неперекрывающиеси области: U0 и Ui. Так

как все рассмотренные критерии могут быть сведены к требованию (7.2.24), то оптимальная операция для них заключается в вычис­ лении отношения правдоподобия, которое сравнивается с порогом данного критерия. Из выражений (7.2.8), (7.2.20) следует, что в слу­ чае матрицы потерь общего вида (7.2.4) порог сравнения

Ц Гщ—~Лю

(7.2.30)

РП о — г п

Впрактических исследованиях систем обнаружения наибольшее рас­ пространение нашли критерий идеального наблюдателя, для кото­

рого с учетом i(7.2.’W)

J

x=q/p,

(7.2.31)

и критерий Неймана-Пирсона, для которого п учетом (7.2.16)

x=q l/q=h .

(7.2.32)

Критерий взвешенных комбинаций в соответствии с матрицей по­ терь (7.2.19) имеет порог ограничения

 

x=w. ■

 

 

(7.2.33)

Поскольку для апостериорных

вероятностей наличия

и отсутствия

Г1М сигнала имеют место соотношения

 

 

 

Р (u/S ф 0 ) =

pf

 

 

 

 

 

s#о(a)/f («).

 

 

 

 

 

 

 

(7.2.34)

Р (u/S =

0) =

qf_>

(u)/f (и) ,

 

 

 

 

s=o

 

 

 

то, используя (7,2.27), получаем

 

 

 

 

Л0 (и) = qp (u/S ф 0)/рР (u/S =

0).

(7.2.35)

Из сопоставления (7.2.35)

и (7.2.27)

находим,

что новый порог хи

с которым сравнивается отношение апостериорных вероятностей,

выражается через порог х, с которым сравнивается А(и), по фор'

муле

Xi=px/q.

(7.2.36)

178

Смотрите также файлы