Файл: Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Эта формула позволяет определить пороги для всех вышерассмот­ ренных критериев.

В заключение заметим, что во всех предыдущих рассуждениях мы считали, что наблюдаемые сигналы являются случайными век­

торами, и пользовались плотностями вероятностей векторов. Однако

—^ —>

можно прийти к соотношению '(7.2.35), когда u(t\ А) представляет

собой случайный векторный процесс, так как существуют апостериор­

ные вероятности F\u(t; X)/S(t; А)=^0] и A)/Si(7; к) = 0 ].

Чтобы апостериорный риск в этом случае был минимальным, не­

обходимо принимать решение

 

 

 

 

У= 0

Р [и ((; k)/S (t\

к) ф 0]

г01 — г00

(7.2.37)

если

 

 

Р о ~ г п

 

P(u(t-, k)/S{t■А) =

0] ^

 

у = 1 ,

Р \и (t; k)/S {t\

к) =

0]

r01— r„„

(7.2.38)

если ------ =;----- дгт;------^--------- >

---------- —

 

P[u(t- k)/S(t;

А )= 0 ]

— г"

 

Выражения (7.2.37) и (7.2.38) означают, что задача оптимального обнаружения считается решенной, если известны апостериорные

вероятности наличия и отсутствия ОМ сигнала.

—> —>

Пусть входной сигнал и (t; к) с вероятностями р и q может быть

двух видов;

1) u { t ; k ) = S ( t ; k) + n(t),

(7.2.39)

2) «(<; к) = n(t), t e [ 0; Т],

где А=Ао, Аь .. ., Ли — случайные параметры S(t\ X). Придадим

дополнительно параметру Ао значение интенсивности, принимающей значения 1 и 0 соответственно с вероятностями р и q.

Тогда плотность вероятности параметра А0 запишется как

f(A o)=?6 (A„)+p6 (A o -l),

’

(7.2.40)

а сигнал (7.2.3) можно заменить выражением

и (/; A )= A „S (/; Г) + л (0 -

(7.2.41)

Если параметр Ао независим по отношению к остальным случайным параметрам ПМ сигнала Аь А2, ..., к п, то плотность вероятности

совместного распределения этих параметров будет определяться выражениями

/ (Ао, А]........ An) =f (ko)f (Ач, А2, ... , Ап) =

(7.2.42)

= f( К А2, . . „ Ап) (?б(А0) +рб(Ао— 1)].

Тогда для решения задачи обнаружения достаточно найти апо- —>

стериорные вероятности Р(и/Ао), т. е. вероятности наличия и отсут-

(2*

179

ствия ПМ сигнала:

 

 

 

п

 

14-Д

л.

оо

со

 

р & 1)= j

J--- j f a о.

к ....у »)Цл,

 

1—Д

 

—оо

—оо

i = l

(7.2.43)

+Д

 

оо

оо

п

 

 

Я(и/1) = |

dX„

J,..

j f ( X 0,

X,, .... Хп%) Д dXt ,

 

—Л

 

—оо

—оо

<=1

 

где Д — произвольная положительная малая величина. Отсюда вид­ но, насколько бывает важно в задаче обнаружения знать методы определения апостериорных плотностей вероятностей параметров поляризации ПМ сигналов, рассмотренные в работах [15, 30].

7.3.ЗАДАЧА ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПМ

СИГНАЛОВ

Рассмотренная в предыдущем параграфе задача обнаружения ПМ сигнала должна предшествовать задаче оценки его параметров поляризации в тех случаях, когда возможно отсутствие ПМ сигнала на входе приемной системы. Эти задачи имеют между собой орга­

ническое

сходство

в

определении

среднего и условного рисков,

однако

в каждой

из

них необходимо учитывать свою специфику,

которая раскрывается в постановке задачи.

При оценке параметров поляризации ПМ сигнала в общем слу­

чае каждой точке пространства А*

посредством оператора Тп приво-

дится в соответствие некоторая область пространства U. В этом

смысле это преобразование является необратимым. Кроме того, в задачах оценки параметров наблюдателю не просто необходимо определить, отличен ли сигнал от нуля или нет, а узнать с наиболь­ шей точностью значения параметров принятого сигнала. Следова­ тельно, здесь мы имеем не две точки, а целое пространство решений,

и приходим к необходимости разделения пространства U на обла­

сти, которым соответствуют различные решения.

Если параметры поляризации ПМ сигнала принимают дискрет-

—У

ные значения A-i, Х2....... Хт, то пространство U делится на т не-

перекрывающихся областей. Определение оптимальной системы оцен­ ки параметров поляризации сводится в таком случае к оптималь-

ному разделению пространства U на неперекрывающиеся области

—> —►

-V

U1, U2........ Um различных решений, которое обеспечивает минимум

среднего риска

q=M[r‘{A-, Л*)],

(7.3.1)

где г (Л; Л*) — некоторая функция потерь.

 

Функция потерь может однозначно определяться

заданием

пары значений параметров поляризации X и X*. В этом случае

средний риск (7.3Л) находится по формуле

 

Я = £ £ ' (V . t * ,) Р (Xt) Р (X*i/Xt) .

(7.3.2)

Д А*

 

180

Однако могут быть случаи, когда при заданных X и Я* значения

функции потерь зависят еще от того, по какому правилу выбора

решения Р(у/и] была принята

оценка X*. В этом случае средним

риск (7.3.2) определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

q = £

£

Е г (Xi■%) Р

Й )

р

(я* Д )

Я [Y/«]•

(7.3.3)

А

А*

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—► —>

 

 

 

того,

что

при передаче ПМ

сигнала с пара-

Z3 (X*j/Xt) — вероятность

метрами поляризации

—>

будет

 

 

 

 

 

—>

равна

вероят­

Xt

принято решение X*j,

ности того, что

при

передаче

ПМ сигнала

с

параметрами

поляри-

зации Xt колебание и попадет

в

 

 

-У

 

 

 

область Uj.

Следовательно, выра­

жения для средних

рисков

(7.3.2)

и

(7.3.3)

можно переписать

в виде

 

Е £

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я =

г

Я*3) Р (Я<) Р («/Я,),

 

(7.3.4)

 

 

Л

Л*

 

 

 

 

 

 

 

 

<7 =

£

£

£

г

7%) р (К) Р (u/Xt) Р [Y/«] •

(7.3.5)

 

А Л*

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при оценке параметров поляризационной струк-

туры необходимо каждой возможной реализации и на входе опти­

мального приемника ПМ сигналов поставить в однозначное соот-

ветствие некоторое значение вектора X из области Л, т. е. сформиро-

вать некоторый функционал ф= ср[u(7,; X)J, называемый оценкой. Из-за наличия помех неизбежны ошибочные оценки параметров

поляризационной структуры. Каждое такое ошибочное решение со­ провождается некоторыми потерями, которые, в свою очередь характеризуются соответствующими функциями стоимости. В си­ стемах связи с дискретными сообщениями или параметрами наи­ большее распространение получила простоя функция стоимости. Под простой функцией стоимости понимается такая функция, когда стои­ мость правильной оценки параметра принимается равной гп, а стои­

мость всех ошибочных оценок имеет одно и то

же значение гн> гп

независимо от величины ошибки. В этом

случае

функция

стоимости

—У —►

 

 

 

 

г(Я; X*) может быть представлена в виде

 

 

 

 

(t; X*) ~ Е [гн ' (г н

' гя) ®)

 

-I]

(7.3.6)

 

 

h ‘к

 

А =1

где

8

/

I,

при Я* = Ти.

7ц 7*

(

0 ,

при Як ф Yk-

Таким образом, согласно (7.3.6) определяется штраф гп за каж­ дый неверно оцененный параметр Як(£=1, 2 ,..., т) и меньший штраф Гп, если дана правильная оценка Хь — уь. Подставляя полу­

181

ченное выражение '(7.3.6)

в (7.3.5), получим

 

 

т

 

 

 

Я =

тг-а.— Ан -

ги) Е

S E

E

5Х ■, Р А) Р («А) Р Ш , (7.3.7)

 

 

А=1

А Л*

^

* *

где ^

и т. д.

обозначают,

что

суммирование производится по

Л

 

 

 

 

 

всем допустимым значениям каждого из поляризационных парамет­ ров A’h‘

Из выражения (7.3.7) следует, что для минимизации риска надо так выбрать правило выбора решений Р(у1и), чтобы максимизиро­

вать

Q* = Е Е \ д , А А) Р («А) A(y/«):

 

 

Д Л*

 

 

 

 

= Е р Ы

р (a/Yfc) р Ы « ) .

(7.3.8)

где

 

 

 

 

А АО =

Е А А).

 

 

д - д н

 

 

 

А («АО =

Е

Я (аА),

— частные вероятности.

(7.3.9)

 

s-д ,

 

 

А (Yi/а) =

S

А (y/и)

 

 

Л*-А *

Впринятых обозначениях средний риск (7.3.7) можно предста­

вить в более сжатой форме:

 

q

 

 

 

т

 

 

А )

 

 

 

тгя —(гя —

Е

Q k (и;

.

(7.3.10)

 

=

 

 

 

гп) £

 

 

 

 

 

 

 

k=l

$

 

 

 

 

 

Далее

оптимизация

осуществляется

путем

 

соответствующего

выбора т правил выбора решений

 

 

 

 

 

 

 

 

A

(Y it/a),

k=\, 2........ т.

 

 

(7.3.11)

Этот риск будет наименьшим, если каждое Quимеет наибольшее

значение,

так как

 

0 при

 

 

 

 

 

 

 

 

A (a/Y„)

<

1 , A (Yfc) <

1 ,

A (ys/ h) > 0 .

(7.3.12)

Максимизация Q& получается, если положить

 

 

 

 

A (Ys/a) =

«

- = 0

при

y\ #

 

Yu.

(7.3.12а)

133

Смотрите также файлы