ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
Корреляционная матрица этих случайных величин будет блочной размером 2«Х2га:
Rn (ti) tj) = |
Rn(tf, |
ti) |
Rn (tr, tj) |
||
|
|
|
(8. 2. 20) |
||
|
|
R,i(U) |
tj) |
R‘22.(ti) tj) |
|
Rn (ti) |
tj) = |
tli (t{) tly |
(tj) |
(t{) |
tly (tj)) |
R2 2 {ti\ |
tj) — tl2(ti) ft,2(tj) |
ft2 (ti) ft2 |
(tj), |
||
R\2 (ti) |
tj) — fl\ (ti) ft2 |
(tj) |
(ti)^2 (ti)’ |
||
Rsl (k) |
tj) = |
Я2 &) |
(^) — n2(ti) tl\ (tj)\ |
||
|
i, j = |
1 ,2 .......n. |
|
|
|
Совместное распределение 2n наблюдаемых случайных
величин представляет собой 2«-мерную нормальную функцию распределения
/2ПЙ |
= ------ |
, |
L |
X |
|
|
|
|
(2я)" К det/?n (^;^) |
|
|
||
х |
exp | ----лт&) R - 1(ti) tj) n(tj) | , |
(8.2.21) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ( к ) = |
\ \ п [ ( t i ) i l l ( Ш . |
|
|
|
Аналогично, для аддитивной смеси и (t; Я) имеем |
||||||
t^n (и) — ’ |
|
|
X |
|
||
|
|
(2Л)" Х d e t^ (#*;<,) |
^ |
|
||
X ехр | |
- |
4* [иТ (k) Я) - |
Sr (k- Я)] R - 1(tf, tj) X |
|||
|
|
X[u(t j ) |
я) — S(fj; Я)]}. |
|
(8.2.22) |
|
Если в качестве координат выбраны случайные векторы,
определенные |
согласно выражениям (8.2.8) |
и (8.2.15), |
то плотность |
совместного распределения 2п |
случайных |
ортогональных компонент этих векторов существенно упрощается. - Действительно, если n(t) — нормальный процесс с нулевым средним, то его координаты у Я&ПьУь (t)
208
представляют нормальные некоррелированные, а следо вательно, и независимые векторы. Поэтому их 2п-мерное распределение представляет собой произведение п дву
мерных нормальных функций_распределения независи мых случайных величин VhnnVik(t) и ]f ЪфъУ^{t),
имеющих нулевые средние и единичную корреляционную матрицу,
/2n(«i. я2, .... пп) = щ ^ е х р | ---- |
п\ 1- (8.2.23) |
Аналогично, для аддитивной смеси ПМ сигнала и поме хи имеем
fsn{ui> |
ип) = |
®ХР I |
2~ |
|
•Sft)a|* (8.2.24) |
|
|
' |
|
fc?i |
’ |
Подставляя |
(8.2.23) |
и (8.2.24) |
в (8.1.12), |
получаем |
|
|
А [и (t\ Я)] = |
«а, |
••■,ип) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fin ( Л 1 •П2 ’ |
••• > Пп) |
|
|
|
= ехр |
|
|
|
(8.2.25) |
Заметим, |
что множитель |
ехр |
|
есть опре |
|
деленная постоянная величина, которую можно рассчитать,
зная уравнение ПМ сигнала S (t; Я)и статистические свойст-
ва помехи n{t). Величина множителя exp |
(2« |
] |
JJ] ukSk I слу- |
||
|
U=i |
} |
чайна, так как в него входят неизвестные |
наперед |
реали- |
зации щ, i = 1 ,2 .......п. Поэтому в случае |
полностью де |
|
терминированного ПМ сигнала оптимальным можно счи тать приемное устройство, формирующее на своем вы ходе
А [и (t\ Я)] = ехр |
(8.2.26) |
14—667 |
209 |
Заменяя |
в (8.2.26) ик и Sk в |
соответствии |
с (8.2.13), |
|
(8.2.14), |
получаем выражение |
|
|
|
|
|
1 |
00 |
|
|
|
| и {t\l) |
Vи (t)dt |
|
|
|
{0 |
fcl |
|
|
J_ |
|
00 |
|
|
(t-J)vh(t)dt |
(8.2.27) |
||
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
из которого, меняя порядок суммирования и интегриро вания, получим
A[u(t; Я)];
|
|
|
|
k = \ |
V я* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - ч |
0 |
^ |
ё - й М |
- |
|
|
|
|
k=\ |
’ |
|
|
( т |
|
|
г |
|
|
|
== exp j 1 |
и1(t\ Я) & (t; i ) d t -----y |
f s r (^;X)&(^; Я) dt |
(8.2.28) |
|||
'o |
|
|
|
0 |
|
' |
где
|
tcjT |
II |
». 0; Ц |
= f 5ЛУк(#)//яХ. |
(8.2.29) |
», (*; X) |
*=1 |
|
Умножим (8.2.29) слева и справа на матрицу R в ; Q и проинтегрируем по ts:
Г |
Т ^ |
00 |
|
j Rn (t»tt) |
|
|
(8.2.30) |
О |
О |
fcl |
s |
Тогда, подставляя в правую часть последнего выражения
разложение Rn (ti',t2) в соответствии с векторной формой
теоремы Марсера
^ |
00 |
^ 0 ; T > t t, (8.2.31) |
« » ((,;У = |
1] |
k = \
и используя условие ортогональности, а также разложе ние (8.2.29), получаем
210
Тсо |
оо |
Оk=\
или
т
j R n (tu Q Ь (/,; Я)dt2= S %\ X). |
(8.2.33) |
Исходя из (8.2.28), можем отметить, что в случае полностью детерминированного ПМ сигнала функцио нал отношения правдоподобия включает в себя операции скалярного перемножения вектора (матрицы-строки) принимаемой смеси электромагнитных полей Г1М сигна-
ла и помехи и (t; Я) на некоторый вектор (матрицу-стол-
-У
бец) &l(t; Я), удовлетворяющий интегральному уравнению
(8.2.33), и усреднение результата перемножения на интер вале времени [0; Т\. С учетом изложенных ртаосуждений
функционал отношения правдоподобия запишется в виде
о
---- L J Sr (*; X ) dfj, |
(8.2.34) |
6
где "&(t; Я) определяется из интегрального уравнения
(8.2.33).
Выражение (8.2.34) для функционала отношения
правдоподобия можно представить в другом виде, опре-
—У
делив ft (if; %) как
т
о
где матрица 0 (t; tt) определяется из интегрально-матрич
ного уравнения
6
14* |
211 |
/ — единичная матрица. Подставляя (8.2.35) в (8.2.34), получаем
Л [и (t; A)j = exp |
и « Г(^;1)0(^; U ) S ( t J ) d h d t - |
|||
|
о |
|
|
|
— г |
® |
*») ^ |
З а д • |
(8.2.37) |
о |
|
|
' |
|
Из полученных выражений (8.2.34), (8.2.37) находим, что функционал отношения правдоподобия зависит от вида аддитивных помех, на фоне которых принимается ПМ сигнал, и самого полезного сигнала. В работах [23, 25] показано, что в регулярном случае, когда функцио-
нал отношения правдоподобия существует Л [и (t\ А)]> О,
при любом конечном интервале наблюдения [0; Г] прави-
ло, использующее A [u(t\ Я)], неизбежно приводит к веро
ятностям ошибочных решений, отличным от нуля. В син
гулярном случае, когда функционал отношения правдо- —> —>
подобия A [u(t\ А.)] обращается в нуль или неограничен
но возрастает, существует возможность достоверных ре шений при любом конечном интервале наблюдения [0; Т].
Так как функционал отношения правдоподобия A[u(t\ А)]
является монотонной функцией, то на практике можно пользоваться не самим функционалом, а произвольной
взаимно-однозначной функцией ср{Л[«(/; А)]}, в частности
—>
его логарифмом 1пЛ[«(^; А)].
8.3. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПМ СИГНАЛА
Положим, что приемная система должна решать про стейшую задачу оптимального обнаружения ПМ сигна ла, состоящую в проверке простой гипотезы Я0, что на блюдаемый векторный процесс — стационарный, нор мальный, с нулевым средним значением, против простой альтернативы Ни что этот процесс также нормальный,
но со средним значением 5(/;. А).
Такая постановка задачи и связанный с .ней расчет функционала отношения правдоподобия имеет особую практическую важность для проектирования приемных
212